QuickCalculators faktoriserar uttryck av formen a i kvadrat minus b i kvadrat till (a plus b)(a minus b) och visar mönstermatchningen innan faktorerna syns. Ange en differens av kvadrater, bekräfta att båda termerna är perfekta kvadrater med ett minus mellan dem, och läs binomparet med en FOIL-kontroll som expanderar tillbaka till originalet.
Faktorisera en differens av två kvadrater
En differens av två kvadrater är en perfekt kvadrat minus en annan perfekt kvadrat. Faktoriseringsformeln skriver om den differensen som en produkt av en summa och en differens av samma rötter. Klassrumsalgebra använder mönstret för mellantermsfria andragradsekvationer och numeriska fall som 49 minus 9. Kalkylatorn returnerar faktorparet när mönstret passar.
Om uttrycket är en summa av kvadrater, eller om någon del inte är en perfekt kvadrat över det valda talsystemet, gäller den särskilda formeln inte. QuickCalculators anger när indata inte är en differens av kvadrater i stället för att tvinga orelaterade faktoriseringar.
Känn igen mönstret
Igenkänning kommer före formelhågkomst. Leta efter exakt två termer, ett minustecken mellan dem och perfekt-kvadrat-struktur på båda sidor. Variabel exempel ser ut som x i kvadrat minus 9 eller 4y i kvadrat minus 25. Numeriska exempel ser ut som 81 minus 16. Att spotta kvadraterna först förhindrar att varje binom behandlas som om det delade den här identiteten.
Kvadraterna kan dölja koefficienter: 4x i kvadrat är (2x) i kvadrat. Konstanta kvadrater är heltal som 9, 16 eller 25. När båda sidor kvalificerar och operationen är subtraktion är mönstret redo för faktoriseringsformeln på den här sidan.
Tillämpa faktoriseringsformeln
Identiteten säger att a i kvadrat minus b i kvadrat är lika med (a plus b)(a minus b). Identifiera a som kvadratroten av den första termen och b som kvadratroten av den andra, skriv sedan summa- och differensfaktorerna. QuickCalculators skriver ut de rötterna bredvid faktorerna så att substitutionen är kontrollerbar mot de ursprungliga kvadraterna.
Tecken spelar roll: det ursprungliga uttrycket måste vara en differens. Att byta till en summa av kvadrater lämnar den reella faktoriseringsmönstret oanvänt. Ordningen (a plus b)(a minus b) multiplicerar tillbaka till a i kvadrat minus b i kvadrat med mellantermer som tar ut varandra.
Verifiera faktorerna med FOIL
Verifiering multiplicerar de föreslagna faktorerna med FOIL eller distribution och kontrollerar att Outer och Inner tar ut varandra medan First och Last återställer kvadraterna. Den kontrollen fångar teckenfel och rotmisstag innan svar lämnas in. Kalkylatorn kör expansionen automatiskt så att faktorerna och det ursprungliga uttrycket förblir länkade på en skärm.
För (x plus 3)(x minus 3) är produkterna x i kvadrat, negativ 3x, 3x och negativ 9. De linjära termerna tar ut varandra och lämnar x i kvadrat minus 9. Att matcha det resultatet bekräftar faktoriseringssteget.
Faktorisera x i kvadrat minus 9
Det motorjusterade exemplet faktoriserar x i kvadrat minus 9 till (x plus 3)(x minus 3). Läs 9 som 3 i kvadrat, tillämpa summa-och-differens-formeln och FOIL för att verifiera. Samma steg gäller när båda termerna är perfekta kvadrater åtskilda av minus.
- Känn igen x i kvadrat och 9 som perfekta kvadrater med ett minus mellan dem.
- Ta kvadratrötter: a är lika med x, b är lika med 3.
- Skriv (x plus 3)(x minus 3).
- FOIL för att bekräfta: x i kvadrat minus 9 efter att mellantermer tar ut varandra.
QuickCalculators presenterar det faktorparet som det primära resultatet för det här klassiska fallet.
Undvik det här vanliga misstaget
Missuppfattningen "x i kvadrat minus 9 är lika med (x minus 3) i kvadrat" kollapsar en differens av kvadrater till ett enda kvadrerat binom. Att expandera (x minus 3) i kvadrat ger x i kvadrat minus 6x plus 9, som fortfarande har en mellanterm och en pluskonstant.
De korrekta faktorerna är (x plus 3)(x minus 3), som tar ut mellantermerna. FOIL alltid för att fånga den sammanblandningen.
Vanliga frågor
Vad är en differens av två kvadrater?
En differens av två kvadrater är ett uttryck med två perfekta-kvadrat-termer åtskilda av subtraktion. Det faktoriseras som (a plus b)(a minus b) när den första kvadraten är a i kvadrat och den andra är b i kvadrat. QuickCalculators detekterar det mönstret och returnerar faktorparet.
Hur faktoriserar man x i kvadrat minus 9?
Att faktorisera x i kvadrat minus 9 använder a lika med x och b lika med 3, så faktorerna är (x plus 3)(x minus 3). FOIL expanderar de faktorerna tillbaka till x i kvadrat minus 9 efter att de linjära termerna tar ut varandra. Ange samma uttryck här för att se den kontrollen.
Vad är formeln för differens av kvadrater?
Formeln för differens av kvadrater säger att a i kvadrat minus b i kvadrat är lika med (a plus b)(a minus b). Identifiera kvadratrötterna av båda termerna och skriv sedan summa- och differensfaktorerna. Identiteten misslyckas för en summa av kvadrater över de reella talen på samma enkla sätt.
Hur verifierar man faktorerna?
Att verifiera faktorerna betyder att expandera dem med FOIL eller distribution och matcha det ursprungliga uttrycket. Outer och Inner bör ta ut varandra för en ren differens av kvadrater. Kalkylatorn utför den expansionen bredvid den faktoriserade formen.
Kan en summa av kvadrater faktoriseras på samma sätt?
En summa av kvadrater faktoriseras inte över de reella med samma (a plus b)(a minus b)-mönster. Det mönstret kräver subtraktion mellan kvadraterna. Komplexa faktoriseringar finns i andra kurser, men den här sidan riktar sig till den reella differensidentiteten.
Vad händer om en term inte är en perfekt kvadrat?
Om en term inte är en perfekt kvadrat gäller det klassiska tvåkvadratsmönstret inte i heltalskoefficientform. Andra faktoriseringsmetoder kan fortfarande hjälpa, till exempel att först faktorisera ut en största gemensamma faktor. Verktyget rapporterar när differens-av-kvadrater-mönstret saknas.
Sammanfattning
QuickCalculators faktoriserar a i kvadrat minus b i kvadrat till (a plus b)(a minus b) efter att ha bekräftat att båda termerna är perfekta kvadrater med ett minus mellan dem. Det genomräknade fallet x i kvadrat minus 9 blir (x plus 3)(x minus 3), och FOIL verifierar att mellantermerna tar ut varandra.
Igenkänning av mönstret kommer före formelanvändning, och att expandera faktorerna fångar den falska omskrivningen till ett enda kvadrerat binom.