Der Kegelrechner rechnet Basisradius und senkrechte Höhe in Volumen, Schräghöhe, Mantelfläche und Gesamtoberfläche für einen geraden Kreiskegel um. Die Spitze liegt direkt über der Mitte der kreisförmigen Basis. Die Seite zeichnet eine beschriftete Figur mit Radius, Höhe und Neigung entsprechend den eingegebenen Werten neu.
Geben Sie Radius und Höhe ein oder geben Sie die Neigungshöhe an, wenn ein Netzproblem stattdessen die Generatoren anzeigt. Verwandte Seiten behandeln den Cylinder Calculator für den sich nicht verjüngenden Körper mit derselben Basis, den Conical Frustum Calculator mit abgeschnittener Spitze und den Pyramid Calculator für eine polygonale Basis.
Berechnen Sie das Volumen eines Kegels
Das Volumen eines geraden Kreiskegels beträgt ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit demselben Grundradius und derselben Höhe. Der Kegelrechner multipliziert (1/3) * pi * r^2 mit der Höhe. Radius und Höhe müssen positiv sein. Der eingegebene Durchmesser halbiert sich, bevor das Volumen läuft.
V = (1/3) * pi * r^2 * hDer Ein-Drittel-Faktor ist die übliche Quelle für Prüfungsfehler: Studierende, die ihn vergessen, melden das Dreifache des tatsächlichen Volumens. Das Volumen skaliert weiterhin mit r zum Quadrat und mit h. Durch die Verdoppelung des Radius wird das Volumen vervierfacht. Durch die Verdoppelung der Höhe wird das Volumen verdoppelt.
Für den Referenzfall r = 3 und h = 4:
V = (1/3) * pi * 9 * 4 = 12 * pi approx 37.70Die exakte Form 12 * pi paart sich sauber mit dem Schräghöhen-5-Triple unten. Wenn Volumen und Radius bekannt sind, ergibt sich für die Höhe 3 * V / (pi * r^2). Wenn Volumen und Höhe bekannt sind, ergibt sich der Radius als positive Quadratwurzel aus 3 * V / (pi * h).
Ein schiefer Kegel mit derselben Grundfläche und derselben senkrechten Höhe hat dasselbe Volumen, aber die Neigungs- und Oberflächenformeln auf dieser Seite gehen vom Fall einer rechten Kreisform aus.
Berechnen Sie die Schräghöhe
Die Neigungshöhe ist der Abstand von einem beliebigen Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze, gemessen entlang der Kegelseite. Bei einem geraden Kreiskegel ist es die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das aus Radius und senkrechter Höhe gebildet wird. Der Kegelrechner wendet die pythagoräische Beziehung an.
l = sqrt(r^2 + h^2)Für die Seitenfläche ist die Neigungshöhe erforderlich. Die senkrechte Höhe allein reicht für die gekrümmte Haut nicht aus. Wenn ein Netz Neigung und Radius angibt, wird die Höhe als sqrt(l^2 - r^2) wiederhergestellt, vorausgesetzt, l ist länger als r.
Für r = 3 und h = 4:
l = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5Das 3-4-5-Dreiersystem ist beabsichtigt: Es passt zum Pythagoras-Klassenzimmerplan und sorgt für Ordnung bei den späteren Oberflächennummern. Wenn ein Problem Generatoren der Länge 5 auf einer Basis mit dem Radius 3 angibt, beträgt die Höhe 4 ohne eine weitere Messung.
Berechnen Sie die Seiten- und Gesamtoberfläche
Die Mantelfläche ist der gekrümmte Sektor, der entsteht, wenn die Seite des Kegels abgerollt wird. Die Gesamtoberfläche fügt die kreisförmige Grundfläche hinzu. Der Kegelrechner meldet beides. Der seitliche Bereich verwendet pi * r * l mit schräger Höhe l, nicht senkrechter Höhe.
Lateral SA = pi * r * l
Total SA = pi * r * (r + l) = pi * r^2 + pi * r * lDurch die Verwendung von h anstelle von l wird die Wand unterzählt, wenn der Kegel nicht entartet ist. Die Grundfläche beträgt pi * r^2. Offene Kegel, die die Basis weglassen, nutzen nur die Seitenfläche; Geschlossene Körper nutzen die Gesamtfläche.
Für r = 3, h = 4, l = 5:
Lateral SA = pi * 3 * 5 = 15 * pi approx 47.12
Base area = pi * 9 = 9 * pi approx 28.27
Total SA = 24 * pi approx 75.40Ein konischer Kegelstumpf behält zwei kreisförmige Enden, nachdem die Spitze entfernt wurde. sein seitlicher Bereich nutzt sowohl Radien als auch eine unterschiedliche Neigung. Link zum Kegelstumpfrechner für Kegelstümpfe wie Eimer und Lampenschirme.
Lösen Sie einen Kegel mit Radius 3 und Höhe 4
Nehmen Sie r = 3 und h = 4 als Referenzkegel. Die Neigungshöhe beträgt 5. Volumen- und Oberflächenfaktor mit pi. Der Durchmesser beträgt 6. 1. Schräghöhe
l = sqrt(3^2 + 4^2) = 52. Volume
V = (1/3) * pi * 9 * 4 = 12 * pi approx 37.703. Lateral surface area
Lateral SA = pi * 3 * 5 = 15 * pi approx 47.124. Total surface area
Total SA = pi * 3 * (3 + 5) = 24 * pi approx 75.40Ein Zylinder mit demselben r = 3 und h = 4 hat ein Volumen von 36 * pi, das Dreifache des Kegels. Die Gesamtoberfläche desselben Zylinders beträgt 2 * pi * 3 * (3 + 4) = 42 * pi, was nicht dem Dreifachen der Gesamtfläche des Kegels entspricht, da die Seitenformen unterschiedlich sind.
Rollen Sie den seitlichen Sektor ab
Die seitliche Oberfläche pi * r * l entspricht einem Sektor mit einem Radius gleich der Schräghöhe l und einer Bogenlänge gleich dem Basisumfang 2 * pi * r. Für r = 3 und l = 5 beträgt die Bogenlänge 6 * pi und die seitliche SA 15 * pi.
Der Sektorwinkel im Bogenmaß beträgt (2 * pi * r) / l = 6 * pi / 5; in Grad sind das 216 Grad. Netze schneiden diesen Sektor sowie eine separate Scheibe mit dem Radius r, wenn die Basis einbezogen wird.
Ausgehend von Neigung und Radius wird die Höhe wiederhergestellt: h = sqrt(l^2 - r^2). Für l = 5 und r = 3 ist h = 4, was ein Volumen von 12 * pi ergibt. Ausgehend von Volumen und Radius wird die Höhe mit h = 3 * V / (pi * r^2) wiederhergestellt. Durch diese Neuanordnungen bleibt der Kegelrechner an Arbeitsblattdaten ausgerichtet, in denen eine der drei Längen r, h und l weggelassen wird.
Hinweis zur Einheit: Radius, Höhe und Neigung teilen sich eine Längeneinheit. Für das Volumen werden Würfeleinheiten verwendet. Seiten- und Gesamtoberflächenflächen verwenden quadratische Einheiten. Ein Kegelstumpf (Kegelstumpf) benötigt zwei Radien; Wechseln Sie zum Konischen Frustum-Rechner, wenn die Spitze fehlt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Kegelvolumen?
Das Kegelvolumen beträgt V = (1/3) * pi * r^2 * h. Für r = 3 und h = 4 beträgt V = 12 * pi ca. 37,70.
Wie finde ich die Schräghöhe?
Slant height is l = sqrt(r^2 + h^2). For r = 3 and h = 4, l = 5.
Was ist die Mantelfläche eines Kegels?
Die seitliche Oberfläche beträgt pi * r * l unter Verwendung der Neigungshöhe. Für r = 3 und l = 5, laterale SA = 15 * pi ca. 47,12.
Was ist die Gesamtoberfläche?
Die Gesamtoberfläche beträgt pi * r * (r + l), was die Basis hinzufügt. Für den Referenzkegel beträgt die Gesamt-SA = 24 * pi, ca. 75,40.
Warum beträgt das Volumen ein Drittel eines Zylinders?
Ein Kegel und ein Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe erfüllen V_kegel = (1/3) * V_zylinder. Das Vergessen des Drittels ist der häufigste Fehler.
Kann der Kegelrechner von der Schräghöhe aus starten?
Ja. Bei bekanntem Radius und Neigung beträgt die Höhe sqrt(l^2 - r^2), dann folgen Volumen und Oberfläche.
Was ist ein Kegelstumpf?
Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, dessen Spitze parallel zur Basis abgeschnitten ist. Verwenden Sie den Kegelstumpfrechner für zwei Radien und eine Höhe.
Welche Einheiten verwendet der Kegelrechner?
Radius, Höhe und Neigung teilen sich eine Längeneinheit. Für das Volumen werden Würfeleinheiten verwendet. Flächen werden in quadratischen Einheiten angegeben.
Wie groß ist das Referenzkegelvolumen?
For r = 3 and h = 4, volume is 12 * pi approx 37.70 with slant height 5.
Warum muss der seitliche Bereich eine Schräghöhe verwenden?
Die abgerollte Seite ist ein Sektor, dessen Bogen sich auf den Basisumfang bezieht und dessen Radius die Generatorlänge l und nicht die senkrechte Höhe h ist.
Zusammenfassung
Der Kegelrechner gibt Volumen, Neigungshöhe, Mantelfläche und Gesamtoberfläche aus Basisradius und -höhe mit ersetzter Arithmetik und einer beschrifteten Zahl zurück. Die bearbeiteten Zahlen stimmen mit r = 3 und h = 4 überein: Neigung 5, V = 12 * pi und Gesamt-SA = 24 * pi.
Verwenden Sie den Zylinderrechner für den passenden, sich nicht verjüngenden Körper und den Kegelstumpfrechner, wenn die Spitze entfernt wird.