Kegelstumpfrechner

Der Kegelstumpfrechner rechnet zwei parallele Kreisradien und die senkrechte Höhe zwischen ihnen in Volumen, Schräghöhe, Mantelfläche und Gesamtoberfläche um. Ein Kegelstumpf ist ein gerader kreisförmiger Kegel, dessen Spitze durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird. Die Seite zeichnet eine beschriftete Figur mit markierten Radien und Höhen neu.

Geben Sie einen größeren Radius R, einen kleineren Radius r und eine Höhe h ein. Verwandte Seiten behandeln den vollständigen Cone Calculator vor dem Schnitt, den Pyramid Frustum Calculator für quadratische Pyramidenstümpfe und den Cylinder Calculator, wenn R gleich r ist.

Berechnen Sie das Volumen eines Kegelstumpfes

Das Volumen eines Kegelstumpfes mischt beide Grundflächen mit einem geometrischen Mittelkreuzterm unter einem Drittelfaktor. Der Kegelstumpfrechner verwendet die Standardkegelstumpfformel. Radien und Höhe müssen positiv sein.

V = (pi * h / 3) * (R^2 + R * r + r^2)

Wenn r gegen 0 geht, reduziert sich die Formel auf (1/3) * pi * R^2 * h, den vollständigen Kegel. Wenn R gleich r ist, reduziert es sich auf pi * R^2 * h, den Zylinder. Diese Grenzwerte sind nützliche Plausibilitätsprüfungen.

Für R = 5, r = 3, h = 6:

V = (pi * 6 / 3) * (25 + 15 + 9) = 2 * pi * 49 = 98 * pi approx 307.88

Die genaue Form 98 * pi entspricht der Umrissvorrichtung. Das Volumen ist nicht der Durchschnitt der beiden Zylindervolumina bei R und r mal Höhe; Dieser Durchschnitt würde den R*r-Term weglassen und zu wenig zählen. Der Kreuzbegriff ist wichtig.

Berechnen Sie die Neigungshöhe und die Fläche

Die Neigungshöhe s ist der Abstand entlang der schrägen Seite zwischen den beiden kreisförmigen Kanten. Für einen rechten Kegelstumpf ist s die Hypotenuse der Höhe h und der radialen Differenz R - r. Der seitliche Bereich verwendet pi * (R + r) * s. Die Gesamtoberfläche addiert beide kreisförmigen Grundflächen.

s = sqrt(h^2 + (R - r)^2)
Lateral SA = pi * (R + r) * s
Total SA = Lateral SA + pi * R^2 + pi * r^2

Durch die Verwendung einer senkrechten Höhe anstelle einer Neigung wird die Wand unterzählt. Offene Eimer, die eine Basis auslassen, subtrahieren diesen Kreis von der Gesamtfläche.

Für R = 5, r = 3, h = 6:

s = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10) approx 6.32
Lateral SA = pi * (5 + 3) * sqrt(40) = 8 * pi * sqrt(10) approx 79.48
Total SA = Lateral SA + pi * 25 + pi * 9 = Lateral SA + 34 * pi approx 186.30

Lösen Sie einen Kegelstumpf mit den Radien 5 und 3 und der Höhe 6

Nehmen Sie R = 5, r = 3 und h = 6 als Referenzkegelstumpf. Das Volumen beträgt 98 * pi. Die Neigungshöhe beträgt Quadratfuß (40). 1. Volumen

V = 98 * pi approx 307.88

2. Slant height

s = sqrt(40) approx 6.32

3. Lateral surface area

Lateral SA = 8 * pi * sqrt(10) approx 79.48

Ein Vollkegel, der sich bis zu einem Punkt über das kleine Ende hinaus fortsetzt, hätte eine Höhe von mehr als 6; Die Wiederherstellung dieses Kegels erfordert ähnliche Dreiecke und ist allein für das Volumen des Kegelstumpfs optional. Auf dieser Seite wird der abgeschnittene Volumenkörper direkt berechnet.

Ähnliche Dreiecke beziehen die fehlende Spitze auf den erhaltenen Kegelstumpf. Wenn der große Basisradius R und der kleine r ist, beträgt der Skalierungsfaktor vom vollen Kegel bis zur entfernten Spitze r/R. Die volle Kegelhöhe H erfüllt r/R = (H, h)/H, also H = h / (1, r/R). Für R = 5, r = 3, h = 6: H = 6 / (1 - 3/5) = 6 / (2/5) = 15. Das volle Kegelvolumen beträgt (1/3)*pi*25*15 = 125 * pi; Das Spitzenvolumen beträgt (1/3)*pi*9*9 = 27 * pi; Differenz 98 * pi entspricht der Kegelstumpfformel.

Erkennen Sie Kegelstümpfe in Alltagsgegenständen

Kegelstümpfe entstehen, wenn ein Vollkegel durch eine Ebene parallel zur Basis geschnitten wird. Eimer, Lampenschirme, sich verjüngende Trinkgläser, Blumentöpfe und einige Trichter ähneln dieser Form. Für höchste Genauigkeit messen Sie beide Öffnungsradien (oder Durchmesser) und die vertikale Höhe zwischen der parallelen Ober- und Unterseite.

Konische Kanäle mit quadratischen Enden gehören stattdessen in den Pyramid Frustum-Rechner. Rohre mit konstantem Radius gehören zu den Zylinder- oder Rohrrechnern. Ein Schirm, der sich mit einem gebogenen Profil erweitert, ist kein gerader Kegelstumpf; Die Formeln gehen hier von geraden Generatoren zwischen den beiden Kreisen aus.

Bauen Sie ein seitliches Netz mit schräger Höhe

Die seitliche Oberfläche verwendet die Schräghöhe s = sqrt(h^2 + (R - r)^2), nicht allein die senkrechte Höhe. Für R = 5, r = 3, h = 6, s = sqrt(40).

Die Wand entfaltet sich zu einem sektorförmigen Kegelstumpfnetz, dessen gerade Kanten die Länge s haben und dessen Bögen den beiden Umfängen 2 * pi * R und 2 * pi * r entsprechen.

Lateral SA = pi * (R + r) * s = 8 * pi * sqrt(10) for the reference case.

Geschlossene Körper addieren beide Basen: pi * R^2 + pi * r^2 = 34 * pi hier. Offene Eimer, die die große Basis weglassen, subtrahieren pi * R^2; Lassen Sie die kleine Öffnung weg, indem Sie pi * r^2 subtrahieren. Wenn Sie h anstelle von s verwenden, wird jede Beschichtung auf der schrägen Wand unterzählt.

Hinweis zur Einheit: Sowohl Radien als auch Höhe teilen sich eine Längeneinheit. Das Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben. Neigungs- und Flächenbereiche verwenden dieselbe Länge für das Quadratmaß. Geben Sie Durchmesser erst nach der Halbierung ein oder verwenden Sie Durchmesserfelder, wenn das Werkzeug sie halbiert, bevor die Formeln ausgeführt werden.

Häufig gestellte Fragen

Zusammenfassung

Der Kegelstumpf-Rechner gibt Volumen, Schräghöhe und Oberflächen für einen geraden Kreiskegelstumpf aus zwei Radien und Höhen mit ersetzter Arithmetik und einer beschrifteten Zahl zurück. Die bearbeiteten Zahlen stimmen mit R = 5, r = 3, h = 6: V = 98 * pi und slant sqrt(40) überein.

Verwenden Sie den Kegelrechner für den ungeschnittenen Körper und den Pyramidenstumpfrechner für quadratische Pyramidenstümpfe.