Pyramidenstumpfrechner

Der Pyramid Frustum Calculator ermittelt Volumen- und Oberflächenmaße einer quadratischen Pyramidenstumpfform aus der Seitenlänge a der größeren Basis, der Seitenlänge b der kleineren Spitze und der vertikalen Höhe h zwischen parallelen Basen. Die Spitze wurde durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten. Die Seite zeichnet eine beschriftete Figur neu, wobei beide Seiten und die Höhe markiert sind.

Geben Sie a, b und h ein, wobei a größer als b ist. Verwandte Seiten behandeln den vollständigen Pyramid Calculator vor dem Schnitt, den Conical Frustum Calculator für kreisförmige Kegelstümpfe und den Rectangular Prism Calculator, wenn die Seiten nicht verjüngt sind.

Berechnen Sie das Volumen eines Pyramidenstumpfes

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kombiniert beide Grundflächen mit einem geometrischen Mittelwert unter einem Faktor von einem Drittel und entspricht dem konischen Kegelstumpfmuster mit quadratischen Flächen anstelle von pi r zum Quadrat. Der Pyramidenstumpfrechner verwendet Seitenlängen für quadratische Grundflächen, daher sind die Flächen a zum Quadrat und b zum Quadrat.

V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)

Wenn b gegen 0 geht, reduziert sich die Formel auf (1/3) * a^2 * h, die vollständige quadratische Pyramide. Wenn a gleich b ist, reduziert es sich auf a^2 * h, das quadratische Prisma. Diese Grenzen überprüfen die Arithmetik.

Für quadratische Basen a = 6, b = 3, h = 4:

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84

Band 84 ist eine ganzzahlige Vorrichtung ohne Pi. Die Mittelung der beiden Prismenvolumina (a^2 * h + b^2 * h) / 2 ergibt (144 + 36) / 2 = 90, was nicht 84 ist. Der Mittelterm a*b ist erforderlich; es zu überspringen zählt hier zu viel.

Berechnen Sie die Oberfläche

Jede Seitenfläche ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn der Kegelstumpf richtig ist und die Basen zentriert sind. Die Neigungshöhe entlang einer Fläche hängt von der halben Differenz der Basisseiten und der vertikalen Höhe ab. Die seitliche Fläche summiert die vier Trapeze. Die Gesamtoberfläche addiert beide quadratischen Grundflächen.

slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2

Für a = 6, b = 3, h = 4:

m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87

Offene Hopper, die eine Basis auslassen, subtrahieren dieses Quadrat. Netzlayouts benötigen die Trapezneigung m, nicht nur die Vertikale h.

Lösen Sie einen quadratischen Kegelstumpf

Als Referenzkegelstumpf die größere Basisseite 6, Oberseite 3 und Höhe 4 verwenden. Das Volumen beträgt 84. Die Neigungshöhe entlang einer Fläche beträgt Quadratfuß (18,25). 1. Volumen

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 84

2. Face slant height

m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.27

3. Base areas

Bottom = 36, top = 9

Eine vollständige Pyramide mit einer Grundfläche von 6, die bis zu einer Spitze über die Oberseite hinausgeht, hätte eine Höhe von mehr als 4; Ähnliche Dreiecke können diese Spitzenhöhe bei Bedarf wiederherstellen, das Kegelstumpfvolumen erfordert sie jedoch nicht, sobald a, b und h bekannt sind.

Vergleichen Sie es mit dem Pyramidenrechner: Fassungsbasis 6, Höhe 4, Volumen 48: Dieser Körper hat immer noch seine Spitze. Durch das Entfernen eines kleineren, ähnlichen Oberteils ändert sich die Formel in die obige Kegelstumpfform.

Trichter, konische Kanalübergänge und einige architektonische Kappen verwenden diesen Volumenkörper. Messen Sie die Außenseite jeder quadratischen Öffnung und die lichte vertikale Höhe zwischen den parallelen Flächen. Wenn die Öffnungen eher Rechtecke als Quadrate sind, ersetzen Sie a^2 und b^2 durch die tatsächlichen Flächen A1 und A2 und verwenden Sie V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), was sich auf die Seitenlängenform reduziert, wenn beide Flächen Quadrate sind.

Prüfungen ähnlicher Dreiecke sind hilfreich, wenn eine Zeichnung die volle Pyramidenhöhe H zu einer imaginären Spitze und die Schnitthöhe angibt. Wenn die kleine Basis mit dem Skalierungsfaktor k = b/a ähnlich ist, beträgt der Abstand vom Scheitelpunkt zur kleinen Fläche k*H und die Kegelstumpfhöhe beträgt H*(1-k). Das Volumen kann als Gesamtpyramidenvolumen abzüglich des kleinen Pyramidenvolumens berechnet werden. Dieser Unterschied entspricht der Kegelstumpfformel, wenn die Geometrie richtig und zentriert ist.

Bearbeiten Sie die Gesichtsschräge für ein Netz

Die seitliche Fläche benötigt die Höhe der Flächenschräge m, nicht nur die vertikale Höhe h. Für a = 6, b = 3, h = 4 beträgt die halbe Seitendifferenz (6 - 3) / 2 = 1,5, also m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).

Jede Trapezfläche beträgt ((a + b) / 2) * m = 4,5 * m, und vier Flächen ergeben eine seitliche SA = 18 * m. Die Addition der Basisquadrate 36 und 9 ergibt die Gesamt-SA.

Ein Pappnetz für einen geschlossenen Kegelstumpf besteht aus vier kongruenten gleichschenkligen Trapezen plus zwei Quadraten. Beim Schneiden mit vertikaler Höhe statt mit m werden die nicht parallelen Seiten verkürzt und das Papier wird zu wenig gezählt. Offene Hopper, die die große Basis weglassen, subtrahieren a^2 von der Gesamt-SA; Lassen Sie die kleine Basis weg, indem Sie stattdessen b^2 subtrahieren.

Hinweis zur Einheit: Die Seiten a und b sowie die Höhe h teilen sich eine Längeneinheit. Für das Volumen werden Würfeleinheiten verwendet. Die Flächenneigung m und jede Fläche verwenden für das Quadratmaß die gleiche Längeneinheit. Halten Sie a > b für einen sich verjüngenden quadratischen Kegelstumpf; a = b ist die bereits oben erwähnte Prismengrenze.

Häufig gestellte Fragen

Zusammenfassung

Der Pyramid Frustum-Rechner gibt Volumen- und Oberflächenmaße für eine quadratische Pyramidenstumpfform aus zwei Basisseiten und der Höhe zurück, mit ersetzter Arithmetik und einer beschrifteten Zahl. Die berechneten Zahlen stimmen mit a = 6, b = 3, h = 4: V = 84 überein. Verwenden Sie den Pyramidenrechner für den ungeschnittenen Körper und den Kegelstumpfrechner für kreisförmige Kegelstümpfe.