Kalkulator frustum piramid

Kalkulator Frustum Pyramid mencari ukuran isipadu dan permukaan piramid segi empat sama terpotong daripada panjang sisi a tapak yang lebih besar, panjang sisi b bahagian atas yang lebih kecil, dan ketinggian menegak h antara tapak selari. Puncak telah dipotong oleh satah selari dengan tapak. Halaman itu melukis semula angka berlabel dengan kedua-dua belah dan ketinggian ditandakan.

Masukkan a, b dan h dengan lebih besar daripada b. Halaman berkaitan meliputi Pyramid Calculator sebelum pemotongan, Conical Frustum Calculator untuk kon terpotong bulat dan Rectangular Prism Calculator apabila sisi tidak tirus.

Hitung isipadu frustum piramid

Isipadu frustum piramid menggabungkan kedua-dua kawasan asas dengan istilah min geometri di bawah faktor satu pertiga, memadankan corak frustum kon dengan luas segi empat sama bukannya pi r kuasa dua. Kalkulator Pyramid Frustum menggunakan panjang sisi untuk tapak segi empat sama, jadi kawasan adalah kuasa dua dan b kuasa dua.

V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)

Apabila b menghampiri 0 formula berkurangan kepada (1/3) * a^2 * h, piramid segi empat sama penuh. Apabila a sama dengan b ia berkurang kepada a^2 * h, prisma segi empat sama. Had tersebut menyemak aritmetik.

Untuk tapak segi empat sama a = 6, b = 3, h = 4:

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84

Jilid 84 ialah lekapan integer tanpa pi. Purata dua isipadu prisma (a^2 * h + b^2 * h) / 2 memberikan (144 + 36) / 2 = 90, yang bukan 84. Sebutan tengah a*b diperlukan; melangkaunya terlalu dikira di sini.

Kira luas permukaan

Setiap muka sisi ialah trapezoid sama kaki apabila frustum betul dan tapaknya berpusat. Ketinggian senget di sepanjang muka bergantung pada separuh perbezaan sisi tapak dan ketinggian menegak. Luas sisi menjumlahkan empat trapezoid. Jumlah luas permukaan menambah kedua-dua tapak segi empat sama.

slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2

Untuk a = 6, b = 3, h = 4:

m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87

Corong terbuka yang meninggalkan satu asas tolak petak itu. Susun atur bersih memerlukan kecondongan trapezoid m, bukan sahaja h menegak.

Selesaikan frustum segi empat sama

Gunakan bahagian tapak yang lebih besar 6, bahagian atas 3 dan ketinggian 4 sebagai frustum rujukan. Isipadu ialah 84. Ketinggian serong di sepanjang muka ialah sqrt(18.25). 1. Jilid

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 84

2. Face slant height

m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.27

3. Base areas

Bottom = 36, top = 9

Piramid penuh dengan asas 6 yang terus ke puncak melebihi muka atas akan mempunyai ketinggian lebih daripada 4; segi tiga yang serupa boleh memulihkan ketinggian puncak itu jika diperlukan, tetapi isipadu frustum tidak memerlukannya sekali a, b dan h diketahui.

Bandingkan dengan lekapan Piramid Kalkulator asas 6 tinggi 4 jilid 48: pepejal itu masih mempunyai hujungnya. Mengalih keluar bahagian atas serupa yang lebih kecil menukar formula kepada bentuk frustum di atas.

Hopper, peralihan saluran tirus dan beberapa penutup seni bina menggunakan pepejal ini. Ukur bahagian luar setiap bukaan segi empat sama dan ketinggian menegak yang jelas antara muka selari. Jika bukaan adalah segi empat tepat dan bukannya segi empat sama, gantikan a^2 dan b^2 dengan kawasan muka sebenar A1 dan A2 dan gunakan V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), yang mengurangkan kepada bentuk panjang sisi apabila kedua-dua muka ialah segi empat sama.

Semakan segi tiga serupa membantu apabila lukisan memberikan ketinggian piramid penuh H kepada puncak khayalan dan ketinggian potongan. Jika tapak kecil adalah serupa dengan faktor skala k = b/a, maka jarak dari puncak ke muka kecil ialah k*H dan ketinggian frustum ialah H*(1-k). Isipadu boleh dikira sebagai isipadu piramid penuh tolak isipadu piramid kecil; perbezaan itu menyamai formula frustum apabila geometri betul dan berpusat.

Kerjakan muka senget untuk jaring

Luas permukaan sisi memerlukan ketinggian serong muka m, bukan sahaja h menegak. Untuk a = 6, b = 3, h = 4, separuh beza sisi ialah (6 - 3) / 2 = 1.5, jadi m = sqrt(4^2 + 1.5^2) = sqrt(18.25).

Setiap kawasan trapezoid ialah ((a + b) / 2) * m = 4.5 * m, dan empat muka memberikan sisi SA = 18 * m. Menambah petak asas 36 dan 9 menghasilkan jumlah SA.

Jaring kadbod untuk frustum tertutup menggunakan empat trapezoid sama kaki yang kongruen ditambah dua segi empat sama. Memotong dengan ketinggian menegak dan bukannya m memendekkan sisi tidak selari dan kertas kurang kira. Corong terbuka yang menghilangkan asas besar menolak a^2 daripada jumlah SA; tinggalkan asas kecil dengan menolak b^2 sebaliknya.

Nota unit: sisi a dan b serta tinggi h berkongsi satu unit panjang. Isipadu menggunakan unit kubus. Muka condong m dan setiap luas permukaan menggunakan unit panjang yang sama untuk ukuran segi empat sama. Simpan a > b untuk frustum persegi tirus; a = b ialah had prisma yang telah dinyatakan di atas.

Soalan lazim

Ringkasan

Kalkulator Frustum Pyramid mengembalikan ukuran isipadu dan permukaan untuk piramid segi empat sama terpotong dari dua sisi dan ketinggian tapak, dengan aritmetik yang digantikan dan angka berlabel. Nombor kerja sepadan dengan a = 6, b = 3, h = 4: V = 84. Gunakan Kalkulator Piramid untuk pepejal yang belum dipotong dan Kalkulator Frustum Kon untuk kon terpotong bulat.