Pyramid Frustum Calculator hittar volym- och ytmått för en stympad fyrkantig pyramid från sidolängden a på den större basen, sidolängden b på den mindre toppen och vertikal höjd h mellan parallella baser. Spetsen har avskurits av ett plan parallellt med basen. Sidan ritar om en märkt figur med båda sidor och höjd markerade.
Ange a, b och h med ett större än b. Relaterade sidor täcker hela Pyramid Calculator före snittet, Conical Frustum Calculator för cirkulära trunkerade koner, och [Rektangulär prisma-kalkylator]-(/prisma-räknare-) sidräknare/prisma-räknare inte avsmalnande.
Beräkna volymen av en pyramidfrustum
Volymen av en pyramidstum kombinerar båda basareorna med en geometrisk medelterm under en tredjedels faktor, vilket matchar det koniska stympade mönstret med kvadratiska ytor istället för pi r i kvadrat. Pyramid Frustum Calculator använder sidolängder för kvadratiska baser, så arean är a i kvadrat och b i kvadrat.
V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)När b närmar sig 0 reduceras formeln till (1/3) * a^2 * h, hela kvadratpyramiden. När a är lika med b reduceras det till a^2 * h, det kvadratiska prismat. Dessa gränser kontrollerar aritmetiken.
För kvadratiska baser a = 6, b = 3, h = 4:
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84Volym 84 är en heltalsfixtur utan pi. Genomsnittet av de två prismavolymerna (a^2 * h + b^2 * h) / 2 ger (144 + 36) / 2 = 90, vilket inte är 84. Mellantermen a*b krävs; att hoppa över det överräknas här.
Beräkna ytan
Varje sidoyta är en likbent trapetsform när stumben är rätt och baserna är centrerade. Lutningshöjden längs en yta beror på halva skillnaden mellan bassidorna och den vertikala höjden. Lateral area summerar de fyra trapetserna. Total yta lägger till båda kvadratiska baserna.
slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2För a = 6, b = 3, h = 4:
m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87Öppna behållare som utelämnar en bas subtraherar den kvadraten. Nätlayouter kräver trapetslutningen m, inte bara vertikal h.
Lös en kvadratisk frustum
Använd större bassida 6, översida 3 och höjd 4 som referensstum. Volymen är 84. Lutningshöjden längs ett ansikte är sqrt(18.25). 1. Volym
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 842. Face slant height
m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.273. Base areas
Bottom = 36, top = 9En hel pyramid med bas 6 som fortsätter till en spets bortom den övre ytan skulle ha en höjd större än 4; liknande trianglar kan återhämta den spetshöjden om det behövs, men frustumvolymen kräver det inte när a, b och h är kända.
Jämför med Pyramid Calculator fixturbas 6 höjd 4 volym 48: det fasta materialet har fortfarande sin spets. Att ta bort en mindre liknande topp ändrar formeln till frustumformen ovan.
Hoppers, avsmalnande kanalövergångar och några arkitektoniska mössor använder detta fasta material. Mät utsidan av varje kvadratisk öppning och den fria vertikala höjden mellan de parallella ytorna. Om öppningarna är rektanglar snarare än kvadrater, ersätt a^2 och b^2 med de faktiska ytområdena A1 och A2 och använd V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), vilket reduceras till sidolängdsformen när båda ytorna är kvadrater.
Liknande triangelkontroller hjälper när en ritning ger hela pyramidhöjden H till en tänkt spets och skärhöjden. Om den lilla basen liknar skalfaktorn k = b/a, är avståndet från spetsen till den lilla ytan k*H och stumhöjden är H*(1-k). Volymen kan beräknas som full pyramidvolym minus den lilla pyramidvolymen; den skillnaden är lika med frustumformeln när geometrin är rätt och centrerad.
Arbeta ansiktet lutande för ett nät
Den laterala ytan behöver ansiktslutande höjd m, inte bara vertikal h. För a = 6, b = 3, h = 4, är halva sidoskillnaden (6 - 3) / 2 = 1,5, så m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).
Varje trapetsarea är ((a + b) / 2) * m = 4,5 * m, och fyra ytor ger lateral SA = 18 * m. Lägga till basrutorna 36 och 9 ger total SA.
Ett kartongnät för en stängd frustum använder fyra kongruenta likbenta trapetser plus två rutor. Att klippa med vertikal höjd istället för m förkortar de icke-parallella sidorna och räknar mindre papper. Öppna magasin som utelämnar den stora basen subtraherar a^2 från total SA; utelämna den lilla basen genom att subtrahera b^2 istället.
Enhetsanmärkning: sidorna a och b och höjd h delar en längdenhet. Volym använder kubenheter. Ansiktslutning m och varje yta använder samma längdenhet för kvadratmåttet. Behåll a > b för en avsmalnande kvadratisk frustum; a = b är prismagränsen som redan noterats ovan.
Vanliga frågor
Vad är pyramidfrustumvolym?
För kvadratiska baser, V = (h/3) * (a^2 + a*b + b^2). Med a = 6, b = 3, h = 4, V = 84.
Vad är a och b?
Sidolängder på de större och mindre fyrkantiga baserna. Keep a > b for a tapering solid.
Vad är höjd h?
Vertical distance between the parallel square bases.
Inkluderar ytan båda baserna?
Total yta inkluderar båda kvadraterna plus fyra trapetsformade sidor. Lateral area utelämnar baserna.
Kan baser vara rektanglar?
Den här sidan använder kvadratiska baser. Rektangulära stympar behöver generella basareor i samma (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2) mönster.
Hur hänger detta ihop med en konisk stum?
Båda använder en tredjedels blandning av de två ändarna med en mellanproduktterm. Cirklar använder pi; rutor använder sidorutor. Använd Conical Frustum Calculator för cirkulära ändar.
Vad händer om a är lika med b?
Den fasta delen är ett kvadratiskt prisma (ett rektangulärt prisma med kvadratiska baser). Volymen blir a^2 * h.
Vilka enheter använder Pyramid Frustum Calculator?
Sidor och höjd delar en längdenhet. Volym använder kubenheter; ytareor använder kvadratiska enheter.
Kan volymen vara full pyramid minus liten pyramid?
Ja, när båda pyramiderna delar spetsen och snittet är parallellt med basen. Den skillnaden matchar V = (h/3)*(a^2 + a*b + b^2) för kvadratiska baser.
Vad används lutningshöjden för ansiktet?
Ansiktslutningshöjd m är höjden för varje trapetsformad sidoyta. Den laterala ytan behöver m; enbart vertikal höjd räcker inte för väggytan.
Varför är medelvärdet av de två prismavolymerna fel?
(a^2*h + b^2*h)/2 tappar den mellersta a*b-termen. För a = 6, b = 3, h = 4 är det genomsnittet 90, men den sanna frustumvolymen är 84.
Vad är referensfrustvolymen?
For a = 6, b = 3, h = 4, volume is 84 cubic units.
Hur skiljer sig kvadratiska och koniska stympar?
Båda blandar två ändmått med en mellanprodukt under h/3. Rutor använder sidolängder; kottar använder radier och en pi-faktor.
Sammanfattning
Pyramid Frustum Calculator returnerar volym- och ytmått för en trunkerad kvadratisk pyramid från två bassidor och höjd, med substituerad aritmetik och en märkt figur. Arbetade siffror matchar a = 6, b = 3, h = 4: V = 84. Använd Pyramid Calculator för det oklippta fasta materialet och Conical Frustum Calculator för cirkulära, trunkerade koner.
Relaterade miniräknare
Pyramid miniräknare · Konisk frustum miniräknare · rektangulär prisma miniräknare · Ytarea miniräknare · Kon miniräknare