Kalkulator ostrosłupa ściętego

Kalkulator Piramidy Frustum oblicza objętość i powierzchnię ściętej piramidy kwadratowej na podstawie długości boku a większej podstawy, długości boku b mniejszego wierzchołka i wysokości pionowej h pomiędzy równoległymi podstawami. Wierzchołek został odcięty płaszczyzną równoległą do podstawy. Strona przerysowuje oznaczoną figurę z zaznaczonymi obydwoma bokami i wysokością.

Wpisz a, b i h z literą większą niż b. Na powiązanych stronach opisano pełny zakres Pyramid Calculator przed cięciem, Conical Frustum Calculator dla okrągłych stożków ściętych oraz Rectangular Prism Calculator, gdy boki nie zwężający się.

Oblicz objętość ostrosłupa ściętego

Objętość piramidy ściętej łączy oba obszary podstawy ze średnią geometryczną pod współczynnikiem jednej trzeciej, dopasowując stożkowy wzór ściętej powierzchni z kwadratowymi obszarami zamiast pi do kwadratu. Kalkulator Piramidy Frustum wykorzystuje długości boków dla podstaw kwadratowych, więc pola są kwadratowe i b kwadratowe.

V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)

Kiedy b zbliża się do 0, formuła redukuje się do (1/3) * a^2 * h, czyli pełnej piramidy kwadratowej. Kiedy a równa się b, redukuje się do a^2 * h, kwadratowego pryzmatu. Te granice sprawdzają arytmetykę.

Dla podstaw kwadratowych a = 6, b = 3, h = 4:

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84

Tom 84 jest urządzeniem całkowitym bez liczby pi. Uśrednianie dwóch objętości pryzmatu (a^2 * h + b^2 * h) / 2 daje (144 + 36) / 2 = 90, co nie jest 84. Wymagany jest wyraz średni a*b; pominięcie tego się tutaj liczy.

Oblicz powierzchnię

Każda ściana boczna jest trapezem równoramiennym, gdy ścięty jest prosty, a podstawy są wyśrodkowane. Wysokość nachylenia wzdłuż ściany zależy od połowy różnicy boków podstawy i wysokości pionowej. Pole boczne sumuje cztery trapezy. Powierzchnia całkowita dodaje obie podstawy kwadratu.

slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2

Dla a = 6, b = 3, h = 4:

m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87

Otwarte leje, w których pominięto jedną podstawę, odejmuje się od tego kwadratu. Układy sieci wymagają skosu trapezowego m, a nie tylko pionowego h.

Rozwiąż kwadrat ścięty

Użyj większej strony podstawy 6, górnej strony 3 i wysokości 4 jako odniesienia ściętego. Objętość wynosi 84. Wysokość nachylenia wzdłuż ściany wynosi sqrt (18,25). 1. Tom

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 84

2. Face slant height

m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.27

3. Base areas

Bottom = 36, top = 9

Pełna piramida o podstawie 6, która sięga wierzchołka poza górną ścianę, miałaby wysokość większą niż 4; podobne trójkąty mogą w razie potrzeby odzyskać tę wysokość wierzchołkową, ale objętość ściętego nie wymaga tego, gdy znane są a, b i h.

Porównaj z Kalkulatorem Piramidy, podstawą urządzenia 6, wysokością 4, tomem 48: ta bryła wciąż ma swój wierzchołek. Usunięcie mniejszego, podobnego wierzchołka zmienia wzór na powyższą postać ściętego.

Z tej bryły korzystają leje zasypowe, stożkowe przejścia kanałów i niektóre czapki architektoniczne. Zmierz zewnętrzną stronę każdego kwadratowego otworu i wolną wysokość pionową pomiędzy równoległymi powierzchniami. Jeśli otwory są prostokątami, a nie kwadratami, zamień a^2 i b^2 na rzeczywiste powierzchnie ścian A1 i A2 i użyj V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), co sprowadza się do postaci długości boku, gdy obie ściany są kwadratami.

Sprawdzanie podobnych trójkątów jest pomocne, gdy rysunek podaje pełną wysokość piramidy H do wyimaginowanego wierzchołka i wysokość cięcia. Jeśli mała podstawa jest podobna ze współczynnikiem skali k = b/a, to odległość od wierzchołka do małej ściany wynosi k*H, a wysokość ściętego wynosi H*(1-k). Objętość można obliczyć jako objętość pełnej piramidy minus objętość małej piramidy; różnica ta jest równa formule ściętej, gdy geometria jest prosta i wyśrodkowana.

Pracuj nad skosem twarzy, aby uzyskać siatkę

Pole powierzchni bocznej wymaga skosu o wysokości m, a nie tylko pionowej h. Dla a = 6, b = 3, h = 4, połowa różnicy boków wynosi (6 - 3) / 2 = 1,5, zatem m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).

Każdy obszar trapezu wynosi ((a + b) / 2) * m = 4,5 * m, a cztery ściany dają boczny SA = 18 * m. Dodanie kwadratów podstawowych 36 i 9 daje sumę SA.

Tekturowa siatka na zamkniętą konstrukcję ściętą składa się z czterech przystających trapezów równoramiennych plus dwa kwadraty. Cięcie z wysokością pionową zamiast m skraca nierównoległe boki i zaniża liczenie papieru. Otwarte zbiorniki, w których pominięto dużą podstawę, odejmuje się a^2 od całkowitego SA; pomiń małą podstawę, odejmując zamiast tego b^2.

Uwaga dotycząca jednostek: boki aib i wysokość h mają jedną jednostkę długości. Objętość wykorzystuje jednostki sześcianu. Nachylenie powierzchni m i każda powierzchnia używają tej samej jednostki długości do miary kwadratu. Zachowaj a > b dla zwężającej się kwadratowej ściętej; a = b jest granicą pryzmatu, o której już wspomniano powyżej.

Najczęściej zadawane pytania

Podsumowanie

Kalkulator Piramidy Frustum zwraca miary objętości i powierzchni ściętej piramidy kwadratowej na podstawie dwóch boków podstawy i wysokości, z podstawioną arytmetyką i oznaczoną figurą. Liczby przetworzone odpowiadają a = 6, b = 3, h = 4: V = 84. Użyj kalkulatora piramidy dla nieobciętej bryły i kalkulatora stożka ściętego dla okrągłych stożków ściętych.