Калькулятор усеченной пирамиды определяет размеры объема и поверхности усеченной квадратной пирамиды, исходя из длины стороны a большего основания, длины стороны b меньшей вершины и вертикальной высоты h между параллельными основаниями. Вершина срезана плоскостью, параллельной основанию. На странице перерисовывается помеченная фигура с отмеченными обеими сторонами и высотой.
Введите a, b и h, где число больше b. На связанных страницах полностью описан Pyramid Calculator перед разрезом, Conical Frustum Calculator для круглых усеченных конусов и Rectangular Prism Calculator, когда стороны не конус.
Вычислить объем усеченной пирамиды
Объем усеченной пирамиды объединяет обе площади основания со средним геометрическим членом с коэффициентом в одну треть, что соответствует образцу усеченного конуса с квадратными площадями вместо квадрата pi r. Калькулятор усеченной пирамиды использует длины сторон для квадратных оснований, поэтому площади представляют собой квадраты a и b в квадрате.
V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)Когда b приближается к 0, формула сводится к (1/3) * a^2 * h, полной квадратной пирамиде. Когда a равно b, оно уменьшается до a^2 * h, квадратной призмы. Эти пределы проверяют арифметику.
Для квадратных оснований a = 6, b = 3, h = 4:
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84Том 84 представляет собой целочисленный прибор без числа «пи». Усреднение двух объемов призмы (a^2 * h + b^2 * h)/2 дает (144 + 36)/2 = 90, что не равно 84. Требуется средний член a*b; пропуск этого здесь имеет слишком большое значение.
Вычислить площадь поверхности
Каждая боковая грань представляет собой равнобедренную трапецию, если усеченная пирамида расположена правильно, а основания центрированы. Высота наклона вдоль грани зависит от половины разницы сторон основания и вертикальной высоты. Боковая площадь суммирует четыре трапеции. Общая площадь поверхности складывает оба квадратных основания.
slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2Для a = 6, b = 3, h = 4:
m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87Открытые бункеры, в которых отсутствует одно основание, вычитают этот квадрат. Для сетевых макетов необходим наклон трапеции m, а не только вертикальный h.
Решите усеченный квадрат
Используйте большую сторону основания 6, верхнюю сторону 3 и высоту 4 в качестве эталонной усеченной пирамиды. Объем, 84. Наклонная высота по грани, sqrt(18,25). 1. Объем
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 842. Face slant height
m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.273. Base areas
Bottom = 36, top = 9Полная пирамида с основанием 6, продолжающимся до вершины за верхней гранью, будет иметь высоту больше 4; подобные треугольники могут восстановить эту высоту вершины, если это необходимо, но объем усеченной пирамиды не требует этого, если известны a, b и h.
Сравните с основанием приспособления Калькулятора пирамиды 6, высотой 4, объемом 48: у этого твердого тела все еще есть кончик. Удаление аналогичной вершины меньшего размера меняет формулу на форму усеченного конуса, приведенную выше.
Этот твердый материал используется в бункерах, переходах конических воздуховодов и некоторых архитектурных заглушках. Измерьте внешнюю сторону каждого квадратного отверстия и высоту по вертикали между параллельными гранями. Если отверстия представляют собой прямоугольники, а не квадраты, замените a^2 и b^2 фактическими площадями граней A1 и A2 и используйте V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), что сводится к форме длины стороны, когда обе грани являются квадратами.
Проверка подобия треугольника помогает, когда на чертеже указана полная высота пирамиды H до воображаемой вершины и высоты разреза. Если маленькое основание аналогично масштабному коэффициенту k = b/a, то расстояние от вершины до маленькой грани равно k*H, а высота усеченной пирамиды равна H*(1-k). Объем можно рассчитать как объем полной пирамиды минус объем малой пирамиды; эта разница равна формуле усеченного конуса, когда геометрия правильная и центрированная.
Работайте с наклоном лица для получения сетки
Для площади боковой поверхности необходима высота наклона грани m, а не только вертикальная h. Для a = 6, b = 3, h = 4 половина разницы сторон равна (6 - 3)/2 = 1,5, поэтому m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).
Площадь каждой трапеции равна ((a+b)/2)*m = 4,5*m, а четыре грани дают боковую SA = 18*m. Сложение базовых квадратов 36 и 9 дает общую SA.
Картонная сетка для замкнутого усеченного конуса состоит из четырех конгруэнтных равнобедренных трапеций и двух квадратов. Резка с вертикальной высотой вместо m укорачивает непараллельные стороны и недосчитывает бумагу. Открытые бункеры, в которых отсутствует большая база, вычитают a^2 из общего SA; опустите маленькую базу, вычитая вместо этого b^2.
Примечание по единице измерения: стороны a и b и высота h имеют одну единицу длины. Объем использует кубические единицы. Наклон грани в м и каждая площадь поверхности используют одну и ту же единицу длины для квадратной меры. Оставьте a > b для сужающегося усеченного квадрата; a = b, предел призмы, уже отмеченный выше.
Часто задаваемые вопросы
Что такое объем усеченной пирамиды?
Для квадратных оснований V = (h/3) * (a^2 + a*b + b^2). При а = 6, b = 3, h = 4, V = 84.
Что такое а и б?
Длины сторон большего и меньшего квадратных оснований. Оставьте a > b для сужающегося тела.
Что такое высота h?
Vertical distance between the parallel square bases.
Включает ли площадь поверхности оба основания?
Общая площадь поверхности включает оба квадрата плюс четыре трапециевидные стороны. Боковая область опускает основания.
Могут ли основания быть прямоугольниками?
На этой странице используются квадратные основания. Прямоугольные усеченные конусы требуют общих базовых площадей одного и того же шаблона (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2).
Как это связано с усеченным конусом?
Оба используют смесь двух концов на одну треть со средним термином продукта. Круги используют число Пи; квадраты используют боковые квадраты. Используйте калькулятор усеченного конуса для круглых концов.
Что, если a равно b?
Тело представляет собой квадратную призму (прямоугольную призму с квадратным основанием). Объем становится a^2 * h.
Какие единицы измерения использует калькулятор усеченной пирамиды?
Стороны и высота имеют одну единицу длины. Объем использует кубические единицы; площади поверхности используют квадратные единицы.
Может ли объем быть равен полной пирамиде минус малой пирамиде?
Да, когда обе пирамиды имеют общую вершину и срез параллелен основанию. Эта разница соответствует V = (h/3)*(a^2 + a*b + b^2) для квадратных оснований.
Для чего используется наклонная высота лица?
Высота наклона грани m, это высота каждой трапециевидной боковой грани. Площадь боковой поверхности необходима м; Одной вертикальной высоты недостаточно для площади стены.
Почему усреднение объёмов двух призм неверно?
(a^2*h + b^2*h)/2 удаляет средний член a*b. Для a = 6, b = 3, h = 4 это среднее значение равно 90, но истинный объем усеченного конуса равен 84.
Что такое эталонный объем усеченной пирамиды?
For a = 6, b = 3, h = 4, volume is 84 cubic units.
Чем отличаются усеченные квадратные и конические фигуры?
Оба смешивают две конечные меры со средним продуктом ниже h/3. В квадратах используются длины сторон; конусы используют радиусы и коэффициент пи.
Кратко
Калькулятор усеченной пирамиды возвращает размеры объема и поверхности усеченной квадратной пирамиды с двух сторон основания и высоты, с замененной арифметикой и помеченной фигурой. Обработанные числа соответствуют a = 6, b = 3, h = 4: V = 84. Используйте калькулятор пирамид для неразрезанного твердого тела и калькулятор усеченного конуса для круглых усеченных конусов.
Сопутствующие калькуляторы
Калькулятор пирамиды · Калькулятор усеченного конуса · Калькулятор прямоугольной призмы · Калькулятор площади поверхности · Калькулятор конуса