Le calculateur de tronc de pyramide trouve les mesures de volume et de surface d'une pyramide carrée tronquée à partir de la longueur du côté a de la plus grande base, de la longueur du côté b du plus petit sommet et de la hauteur verticale h entre les bases parallèles. Le sommet a été coupé par un plan parallèle à la base. La page redessine une figure étiquetée avec les deux côtés et la hauteur marqués.
Entrez a, b et h avec un supérieur à b. Les pages associées couvrent le Pyramid Calculator complet avant la coupe, le Conical Frustum Calculator pour les cônes tronqués circulaires et le Rectangular Prism Calculator lorsque les côtés ne se rétrécissent pas.
Calculer le volume d'un tronc de pyramide
Le volume d'un tronc de pyramide combine les deux zones de base avec un terme de moyenne géométrique sous un facteur d'un tiers, faisant correspondre le motif du tronc conique avec des zones carrées au lieu de pi r au carré. La calculatrice Pyramid Frustum utilise les longueurs des côtés pour les bases carrées, de sorte que les aires sont au carré et au carré b.
V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)Lorsque b s'approche de 0, la formule se réduit à (1/3) * a^2 * h, la pyramide carrée complète. Lorsque a est égal à b, il se réduit à a^2 * h, le prisme carré. Ces limites vérifient l'arithmétique.
Pour les bases carrées a = 6, b = 3, h = 4 :
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84Le volume 84 est un nombre entier sans pi. La moyenne des deux volumes de prisme (a^2 * h + b^2 * h) / 2 donne (144 + 36) / 2 = 90, ce qui n'est pas 84. Le moyen terme a*b est requis ; le sauter est trop important ici.
Calculer la superficie
Chaque face latérale est un trapèze isocèle lorsque le tronc de tronc est droit et les bases sont centrées. La hauteur d'inclinaison le long d'une face dépend de la moitié de la différence des côtés de base et de la hauteur verticale. La zone latérale résume les quatre trapèzes. La surface totale ajoute les deux bases carrées.
slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2Pour a = 6, b = 3, h = 4 :
m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87Les trémies ouvertes qui omettent une base soustraient ce carré. Les dispositions de filet nécessitent l'inclinaison trapézoïdale m, pas seulement la verticale h.
Résoudre un tronc de carré
Utilisez le côté de base plus grand 6, le côté supérieur 3 et la hauteur 4 comme tronc de référence. Le volume est de 84. La hauteur inclinée le long d'une face est carrée (18,25). 1. Volume
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 842. Face slant height
m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.273. Base areas
Bottom = 36, top = 9Une pyramide complète avec une base 6 qui continue jusqu'à un sommet au-delà de la face supérieure aurait une hauteur supérieure à 4 ; des triangles similaires peuvent récupérer cette hauteur de sommet si nécessaire, mais le volume du tronc ne l'exige pas une fois que a, b et h sont connus.
Comparez avec le luminaire Pyramid Calculator base 6 hauteur 4 volume 48 : ce solide a encore sa pointe. La suppression d'un sommet similaire plus petit modifie la formule en la forme tronconique ci-dessus.
Les trémies, les transitions de conduits coniques et certains capuchons architecturaux utilisent ce solide. Mesurez le côté extérieur de chaque ouverture carrée et la hauteur verticale libre entre les faces parallèles. Si les ouvertures sont des rectangles plutôt que des carrés, remplacez a^2 et b^2 par les zones de visage réelles A1 et A2 et utilisez V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), ce qui se réduit à la forme latérale lorsque les deux faces sont des carrés.
Les vérifications de triangles similaires sont utiles lorsqu'un dessin donne la hauteur totale de la pyramide H à un sommet imaginaire et la hauteur de coupe. Si la petite base est similaire avec le facteur d'échelle k = b/a, alors la distance entre le sommet et la petite face est k*H et la hauteur du tronc est H*(1-k). Le volume peut être calculé comme le volume de la pyramide complète moins le volume de la petite pyramide ; cette différence est égale à la formule du tronc lorsque la géométrie est droite et centrée.
Travailler le visage en biais pour un filet
La surface latérale nécessite une hauteur d'inclinaison de la face m, et pas seulement une hauteur verticale h. Pour a = 6, b = 3, h = 4, la moitié de la différence latérale est (6 - 3) / 2 = 1,5, donc m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).
Chaque zone trapézoïdale est ((a + b) / 2) * m = 4,5 * m, et quatre faces donnent un SA latéral = 18 * m. L'ajout des carrés de base 36 et 9 produit une SA totale.
Un filet en carton pour un tronc de tronc fermé utilise quatre trapèzes isocèles congrus plus deux carrés. Couper avec une hauteur verticale au lieu de m raccourcit les côtés non parallèles et sous-compte le papier. Les trémies ouvertes qui omettent la grande base soustraient a^2 du SA total ; omettez la petite base en soustrayant b ^ 2 à la place.
Remarque sur l'unité : les côtés a et b et la hauteur h partagent une unité de longueur. Le volume utilise des unités cubiques. L'inclinaison du visage m et chaque surface utilisent la même unité de longueur pour la mesure carrée. Gardez a > b pour un tronc de tronc carré effilé ; a = b est la limite du prisme déjà notée ci-dessus.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que le volume du tronc de la pyramide ?
Pour les bases carrées, V = (h/3) * (a^2 + a*b + b^2). Avec a = 6, b = 3, h = 4, V = 84.
Que sont a et b ?
Longueurs des côtés des bases carrées plus grandes et plus petites. Gardez a > b pour un solide effilé.
Quelle est la hauteur h ?
Vertical distance between the parallel square bases.
La superficie comprend-elle les deux bases ?
La surface totale comprend les deux carrés ainsi que quatre côtés trapézoïdaux. La zone latérale omet les bases.
Les bases peuvent-elles être des rectangles ?
Cette page utilise des bases carrées. Les troncs de tronc rectangulaires ont besoin de zones de base générales dans le même motif (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2).
Quel est le rapport avec un tronc de cône ?
Les deux utilisent un mélange d’un tiers des deux extrémités avec un terme de produit intermédiaire. Les cercles utilisent pi ; les carrés utilisent des carrés latéraux. Utilisez le calculateur de tronc conique pour les extrémités circulaires.
Et si a est égal à b ?
Le solide est un prisme carré (un prisme rectangulaire à bases carrées). Le volume devient un ^ 2 * h.
Quelles unités le calculateur Pyramid Frustum utilise-t-il ?
Les côtés et la hauteur partagent une unité de longueur. Le volume utilise des unités cubiques ; les superficies utilisent des unités carrées.
Le volume peut-il être une pyramide complète moins une petite pyramide ?
Oui, lorsque les deux pyramides partagent le sommet et que la coupe est parallèle à la base. Cette différence correspond à V = (h/3)*(a^2 + a*b + b^2) pour les bases carrées.
A quoi sert la hauteur d’inclinaison du visage ?
La hauteur d'inclinaison de la face m est l'altitude de chaque face latérale trapézoïdale. La surface latérale a besoin de m ; la hauteur verticale à elle seule ne suffit pas pour la surface du mur.
Pourquoi la moyenne des volumes des deux prismes est-elle erronée ?
(a^2*h + b^2*h)/2 supprime le terme moyen a*b. Pour a = 6, b = 3, h = 4, cette moyenne est de 90, mais le véritable volume du tronc est de 84.
Quel est le volume du tronc de référence ?
For a = 6, b = 3, h = 4, volume is 84 cubic units.
Quelle est la différence entre les troncs de cône carrés et coniques ?
Tous deux mélangent deux mesures finales avec un produit intermédiaire sous h/3. Les carrés utilisent des longueurs de côté ; les cônes utilisent des rayons et un facteur pi.
Résumé
Pyramid Frustum Calculator renvoie les mesures de volume et de surface pour une pyramide carrée tronquée à partir de deux côtés de base et de la hauteur, avec une arithmétique substituée et un chiffre étiqueté. Les nombres travaillés correspondent à a = 6, b = 3, h = 4 : V = 84. Utilisez le calculateur de pyramide pour le solide non coupé et le calculateur de tronc de cône pour les cônes tronqués circulaires.