Calculadora de tronco de pirâmide

A calculadora Pyramid Frustum encontra medidas de volume e superfície de uma pirâmide quadrada truncada a partir do comprimento lateral a da base maior, comprimento lateral b do topo menor e altura vertical h entre bases paralelas. O ápice foi cortado por um plano paralelo à base. A página redesenha uma figura rotulada com ambos os lados e altura marcados.

Insira a, b e h com um valor maior que b. As páginas relacionadas cobrem a Pyramid Calculator completa antes do corte, a Conical Frustum Calculator para cones truncados circulares, e a Rectangular Prism Calculator quando os lados não se estreitam.

Calcule o volume de um tronco de pirâmide

O volume de um tronco de pirâmide combina ambas as áreas da base com um termo de média geométrica sob um fator de um terço, combinando o padrão do tronco cônico com áreas quadradas em vez de pi r ao quadrado. A calculadora Pyramid Frustum usa comprimentos laterais para bases quadradas, então as áreas são a ao quadrado e b ao quadrado.

V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)

Quando b se aproxima de 0, a fórmula se reduz a (1/3) * a^2 * h, a pirâmide quadrada completa. Quando a é igual a b, reduz-se a a^2 * h, o prisma quadrado. Esses limites verificam a aritmética.

Para bases quadradas a = 6, b = 3, h = 4:

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84

O volume 84 é um acessório inteiro sem pi. Calcular a média dos dois volumes do prisma (a^2 * h + b^2 * h) / 2 dá (144 + 36) / 2 = 90, que não é 84. O termo médio a*b é necessário; ignorá-lo conta demais aqui.

Calcule a área da superfície

Cada face lateral é um trapézio isósceles quando o tronco está certo e as bases estão centralizadas. A altura inclinada ao longo de uma face depende da metade da diferença entre os lados da base e a altura vertical. A área lateral soma os quatro trapézios. A área total da superfície soma ambas as bases quadradas.

slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2

Para a = 6, b = 3, h = 4:

m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87

Os funis abertos que omitem uma base subtraem esse quadrado. Os layouts de rede precisam da inclinação trapezoidal m, não apenas da vertical h.

Resolva um tronco quadrado

Use o lado da base maior 6, o lado superior 3 e a altura 4 como tronco de referência. O volume é 84. A altura inclinada ao longo de uma face é sqrt (18,25). 1. Volume

V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 84

2. Face slant height

m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.27

3. Base areas

Bottom = 36, top = 9

Uma pirâmide completa com base 6 que continua até um vértice além da face superior teria altura maior que 4; triângulos semelhantes podem recuperar a altura do vértice se necessário, mas o volume do tronco não exige isso, uma vez que a, b e h são conhecidos.

Compare com o acessório Calculadora Pirâmide base 6 altura 4 volume 48: esse sólido ainda tem a ponta. A remoção de um topo semelhante menor altera a fórmula para a forma de tronco acima.

Funis, transições de dutos cônicos e algumas tampas arquitetônicas usam esse sólido. Meça o lado externo de cada abertura quadrada e a altura vertical livre entre as faces paralelas. Se as aberturas forem retângulos em vez de quadrados, substitua a^2 e b^2 pelas áreas reais da face A1 e A2 e use V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), que se reduz à forma do comprimento lateral quando ambas as faces são quadradas.

As verificações de triângulos semelhantes ajudam quando um desenho fornece a altura total da pirâmide H a um vértice imaginário e a altura de corte. Se a base pequena for semelhante com fator de escala k = b/a, então a distância do vértice à face pequena é k*H e a altura do tronco é H*(1-k). O volume pode ser calculado como o volume da pirâmide completa menos o volume da pirâmide pequena; essa diferença é igual à fórmula do tronco quando a geometria está correta e centralizada.

Trabalhe a inclinação do rosto para formar uma rede

A área da superfície lateral precisa de uma altura de inclinação da face m, não apenas vertical h. Para a = 6, b = 3, h = 4, metade da diferença lateral é (6 - 3) / 2 = 1,5, então m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).

Cada área trapezoidal é ((a + b) / 2) * m = 4,5 * m, e quatro faces dão SA lateral = 18 * m. A adição dos quadrados de base 36 e 9 produz SA total.

Uma rede de papelão para um tronco fechado usa quatro trapézios isósceles congruentes mais dois quadrados. Cortar com altura vertical em vez de m encurta os lados não paralelos e subconta o papel. Os funis abertos que omitem a base grande subtraem a ^ 2 do SA total; omita a base pequena subtraindo b ^ 2.

Nota da unidade: os lados aeb e a altura h compartilham uma unidade de comprimento. O volume usa unidades cúbicas. A inclinação da face me cada área de superfície usa a mesma unidade de comprimento para a medida quadrada. Mantenha a> b para um tronco quadrado afilado; a = b é o limite do prisma já mencionado acima.

Perguntas frequentes

Resumo

A Calculadora Pyramid Frustum retorna medidas de volume e superfície para uma pirâmide quadrada truncada de dois lados da base e altura, com aritmética substituída e uma figura rotulada. Os números trabalhados correspondem a = 6, b = 3, h = 4: V = 84. Use a Calculadora de Pirâmide para o sólido não cortado e a Calculadora de Frustum Cônico para cones truncados circulares.