La calculadora Pyramid Frustum encuentra medidas de volumen y superficie de una pirámide cuadrada truncada a partir de la longitud del lado a de la base más grande, la longitud del lado b de la parte superior más pequeña y la altura vertical h entre bases paralelas. El ápice ha sido cortado por un plano paralelo a la base. La página vuelve a dibujar una figura etiquetada con ambos lados y la altura marcados.
Introduzca a, b y h con un mayor que b. Las páginas relacionadas cubren la Pyramid Calculator completa antes del corte, la Conical Frustum Calculator para conos truncados circulares y la Rectangular Prism Calculator cuando los lados no se estrechan.
Calcular el volumen de una pirámide trunca
El volumen de un tronco de pirámide combina ambas áreas de la base con un término de media geométrica bajo un factor de un tercio, haciendo coincidir el patrón de tronco cónico con áreas cuadradas en lugar de pi r al cuadrado. La calculadora Pyramid Frustum utiliza longitudes de lados para bases cuadradas, por lo que las áreas son a al cuadrado y b al cuadrado.
V = (h / 3) * (a^2 + a*b + b^2)Cuando b se acerca a 0, la fórmula se reduce a (1/3) * a^2 * h, la pirámide cuadrada completa. Cuando a es igual a b, se reduce a a^2 * h, el prisma cuadrado. Esos límites comprueban la aritmética.
Para bases cuadradas a = 6, b = 3, h = 4:
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = (4 / 3) * 63 = 84El volumen 84 es un elemento entero sin pi. Al promediar los dos volúmenes del prisma (a^2 * h + b^2 * h) / 2 se obtiene (144 + 36) / 2 = 90, que no es 84. Se requiere el término medio a*b; omitirlo cuenta en exceso aquí.
Calcular el área de la superficie
Cada cara lateral es un trapezoide isósceles cuando el tronco es correcto y las bases están centradas. La altura inclinada a lo largo de una cara depende de la mitad de la diferencia entre los lados de la base y la altura vertical. El área lateral suma los cuatro trapecios. El área de superficie total suma ambas bases cuadradas.
slant m = sqrt(h^2 + ((a - b) / 2)^2)
One trapezoid area = (a + b) / 2 * m
Lateral SA = 2 * (a + b) * m
Total SA = Lateral SA + a^2 + b^2Para a = 6, b = 3, h = 4:
m = sqrt(16 + (1.5)^2) = sqrt(16 + 2.25) = sqrt(18.25) approx 4.27
Lateral SA = 2 * (6 + 3) * m = 18 * m approx 76.87
Total SA = Lateral SA + 36 + 9 = Lateral SA + 45 approx 121.87Las tolvas abiertas que omiten una base restan ese cuadrado. Los diseños de redes necesitan la inclinación trapezoidal m, no solo la vertical h.
Resolver un tronco cuadrado
Utilice el lado de base más grande 6, el lado superior 3 y la altura 4 como tronco de referencia. El volumen es 84. La altura inclinada a lo largo de una cara es sqrt(18,25). 1. Volumen
V = (4 / 3) * (36 + 18 + 9) = 842. Face slant height
m = sqrt(4^2 + ((6 - 3) / 2)^2) = sqrt(18.25) approx 4.273. Base areas
Bottom = 36, top = 9Una pirámide completa con base 6 que continúa hasta un vértice más allá de la cara superior tendría una altura mayor que 4; triángulos similares pueden recuperar la altura del vértice si es necesario, pero el volumen del tronco no lo requiere una vez que se conocen a, b y h.
Compárelo con el accesorio Pyramid Calculator base 6 altura 4 volumen 48: ese sólido todavía tiene su punta. Quitar una parte superior similar más pequeña cambia la fórmula a la forma frustum anterior.
Tolvas, transiciones de conductos cónicas y algunas tapas arquitectónicas utilizan este sólido. Mida el lado exterior de cada abertura cuadrada y la altura vertical libre entre las caras paralelas. Si las aberturas son rectángulos en lugar de cuadrados, reemplace a^2 y b^2 con las áreas de cara reales A1 y A2 y use V = (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2), que se reduce a la forma de longitud de lado cuando ambas caras son cuadradas.
Las comprobaciones de triángulos similares ayudan cuando un dibujo proporciona la altura total de la pirámide H hasta un vértice imaginario y la altura de corte. Si la base pequeña es similar con un factor de escala k = b/a, entonces la distancia desde el ápice hasta la cara pequeña es k*H y la altura del tronco es H*(1-k). El volumen se puede calcular como el volumen de la pirámide completa menos el volumen de la pirámide pequeña; esa diferencia es igual a la fórmula del tronco cuando la geometría es correcta y centrada.
Trabaja la cara inclinada para hacer una red
El área de la superficie lateral necesita una altura inclinada de la cara m, no solo vertical h. Para a = 6, b = 3, h = 4, la mitad de la diferencia lateral es (6 - 3) / 2 = 1,5, por lo que m = sqrt(4^2 + 1,5^2) = sqrt(18,25).
Cada área del trapezoide es ((a + b) / 2) * m = 4,5 * m, y cuatro caras dan lateral SA = 18 * m. Sumar los cuadrados de base 36 y 9 produce SA total.
Una red de cartón para un tronco cerrado utiliza cuatro trapecios isósceles congruentes más dos cuadrados. Cortar con altura vertical en lugar de m acorta los lados no paralelos y el recuento de papel es insuficiente. Las tolvas abiertas que omiten la base grande restan a^2 del SA total; omita la base pequeña restando b^2 en su lugar.
Nota sobre la unidad: los lados a y b y la altura h comparten una unidad de longitud. El volumen utiliza unidades cúbicas. La inclinación de la cara m y cada área de superficie usan la misma unidad de longitud para la medida cuadrada. Mantenga a > b para un tronco cuadrado ahusado; a = b es el límite del prisma ya mencionado anteriormente.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el volumen truncado de la pirámide?
Para bases cuadradas, V = (h/3) * (a^2 + a*b + b^2). Con a = 6, b = 3, h = 4, V = 84.
¿Qué son a y b?
Longitudes de los lados de las bases cuadradas más grandes y más pequeñas. Mantenga a > b para un sólido ahusado.
¿Cuál es la altura h?
Vertical distance between the parallel square bases.
¿El área de superficie incluye ambas bases?
La superficie total incluye ambos cuadrados más cuatro lados trapezoidales. La zona lateral omite las bases.
¿Pueden las bases ser rectángulos?
Esta página utiliza bases cuadradas. Los troncos rectangulares necesitan áreas de base generales en el mismo patrón (h/3)*(A1 + sqrt(A1*A2) + A2).
¿Cómo se relaciona esto con un tronco cónico?
Ambos utilizan una mezcla de un tercio de los dos extremos con un término de producto medio. Los círculos usan pi; los cuadrados usan cuadrados laterales. Utilice la Calculadora de Frustum Cónico para extremos circulares.
¿Qué pasa si a es igual a b?
El sólido es un prisma cuadrado (un prisma rectangular con bases cuadradas). El volumen se convierte en a^2 * h.
¿Qué unidades utiliza la Calculadora Pyramid Frustum?
Los lados y la altura comparten una unidad de longitud. El volumen utiliza unidades cúbicas; las áreas de superficie utilizan unidades cuadradas.
¿Puede el volumen ser una pirámide completa menos una pirámide pequeña?
Sí, cuando ambas pirámides comparten el vértice y el corte es paralelo a la base. Esa diferencia coincide con V = (h/3)*(a^2 + a*b + b^2) para bases cuadradas.
¿Para qué se utiliza la altura inclinada de la cara?
La altura inclinada de la cara m es la altitud de cada cara lateral trapezoidal. La superficie lateral necesita m; La altura vertical por sí sola no es suficiente para el área de la pared.
¿Por qué es incorrecto promediar los volúmenes de los dos prismas?
(a^2*h + b^2*h)/2 elimina el término medio a*b. Para a = 6, b = 3, h = 4 ese promedio es 90, pero el verdadero volumen truncado es 84.
¿Cuál es el volumen tronco de referencia?
For a = 6, b = 3, h = 4, volume is 84 cubic units.
¿En qué se diferencian los troncos cuadrados y cónicos?
Ambos mezclan dos medidas finales con un producto medio por debajo de h/3. Los cuadrados usan longitudes de lados; los conos usan radios y un factor pi.
Resumen
Pyramid Frustum Calculator devuelve medidas de volumen y superficie para una pirámide cuadrada truncada desde dos lados de la base y la altura, con aritmética sustituida y una figura etiquetada. Los números resueltos coinciden con a = 6, b = 3, h = 4: V = 84. Utilice la Calculadora piramidal para el sólido sin cortar y la Calculadora de Frustum cónico para conos truncados circulares.