Kalkulator stożka

Kalkulator stożka konwertuje promień podstawy i wysokość prostopadłą na objętość, wysokość nachylenia, powierzchnię boczną i powierzchnię całkowitą prawego okrągłego stożka. Wierzchołek znajduje się bezpośrednio nad środkiem okrągłej podstawy. Strona przerysuje oznaczoną figurę z promieniem, wysokością i nachyleniem oznaczonymi zgodnie z wprowadzonymi wartościami.

Wprowadź promień i wysokość lub wysokość nachylenia zasilania, jeśli zamiast tego problem z siecią daje generatory. Na powiązanych stronach opisano Cylinder Calculator dla niezwężającej się bryły o tej samej podstawie, Conical Frustum Calculator w przypadku odcięcia wierzchołka oraz Pyramid Calculator dla wielokąta baza.

Oblicz objętość stożka

Objętość prawego stożka okrągłego stanowi jedną trzecią objętości walca o tym samym promieniu podstawy i tej samej wysokości. Kalkulator stożka mnoży (1/3) * pi * r^2 przez wysokość. Promień i wysokość muszą być dodatnie. Połówki wejściowe średnicy przed przebiegiem objętości.

V = (1/3) * pi * r^2 * h

Czynnik wynoszący jedną trzecią jest częstym źródłem błędów egzaminacyjnych: uczniowie, którzy o nim zapominają, zgłaszają trzykrotność rzeczywistej liczby błędów. Objętość nadal skaluje się z r do kwadratu i z h. Podwojenie promienia zwiększa objętość czterokrotnie; podwojenie wysokości mnoży objętość przez dwa.

Dla przypadku referencyjnego r = 3 i h = 4:

V = (1/3) * pi * 9 * 4 = 12 * pi approx 37.70

Dokładna forma 12 * pi łączy się czysto z wysokością skosu 5 potrójną poniżej. Gdy znana jest objętość i promień, wysokość wynosi 3 * V / (pi * r^2). Gdy znana jest objętość i wysokość, promień jest obliczany jako dodatni pierwiastek kwadratowy z 3 * V / (pi * h).

Ukośny stożek o tej samej powierzchni podstawy i tej samej prostopadłej wysokości ma tę samą objętość, ale we wzorach na nachylenie i powierzchnię na tej stronie przyjęto odpowiedni przypadek kołowy.

Oblicz wysokość skosu

Wysokość skosu to odległość od dowolnego punktu na okręgu podstawowym do wierzchołka mierzona wzdłuż boku stożka. W prawym stożku kołowym jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego utworzonego przez promień i prostopadłą wysokość. Kalkulator stożka stosuje relację Pitagorasa.

l = sqrt(r^2 + h^2)

W przypadku powierzchni bocznej wymagana jest wysokość nachylenia. Sama wysokość prostopadła nie wystarczy dla zakrzywionej skóry. Gdy siatka podaje nachylenie i promień, wysokość jest obliczana jako sqrt(l^2 - r^2), pod warunkiem, że l jest dłuższe niż r.

Dla r = 3 i h = 4:

l = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Trójka 3-4-5 jest zamierzona: pasuje do pitagorejskiego wyposażenia sali lekcyjnej i pozwala zachować porządek w późniejszych numerach powierzchniowych. Jeśli problem dotyczy generatorów o długości 5 na podstawie promienia 3, wysokość wynosi 4 bez kolejnego pomiaru.

Oblicz powierzchnię boczną i całkowitą

Pole powierzchni bocznej to zakrzywiony sektor powstający po rozwinięciu boku stożka. Całkowita powierzchnia dodaje okrągłą podstawę. Kalkulator stożkowy raportuje oba. Powierzchnia boczna wykorzystuje pi * r * l z wysokością nachylenia l, a nie wysokością prostopadłą.

Lateral SA = pi * r * l
Total SA = pi * r * (r + l) = pi * r^2 + pi * r * l

Użycie h zamiast l zaniża liczbę ścianek, jeśli stożek nie jest zdegenerowany. Pole podstawy to pi * r^2. Otwarte szyszki, które pomijają podstawę, wykorzystują wyłącznie obszar boczny; zamknięte bryły zajmują powierzchnię całkowitą.

Dla r = 3, h = 4, l = 5:

Lateral SA = pi * 3 * 5 = 15 * pi approx 47.12
Base area = pi * 9 = 9 * pi approx 28.27
Total SA = 24 * pi approx 75.40

Stożkowy ścięty utrzymuje dwa okrągłe końce po usunięciu końcówki; jego obszar boczny wykorzystuje zarówno promienie, jak i inne nachylenie. Link do kalkulatora ściętego stożka dla stożków ściętych, takich jak wiadra i abażury.

Rozwiąż stożek o promieniu 3 i wysokości 4

Przyjmij r = 3 i h = 4 jako stożek odniesienia. Wysokość nachylenia wynosi 5. Współczynnik objętości i powierzchni wynosi pi. Średnica wynosi 6. 1. Wysokość skosu

l = sqrt(3^2 + 4^2) = 5

2. Volume

V = (1/3) * pi * 9 * 4 = 12 * pi approx 37.70

3. Lateral surface area

Lateral SA = pi * 3 * 5 = 15 * pi approx 47.12

4. Total surface area

Total SA = pi * 3 * (3 + 5) = 24 * pi approx 75.40

Walec o tych samych r = 3 i h = 4 ma objętość 36 * pi, czyli trzykrotność stożka. Całkowita powierzchnia tego samego walca wynosi 2 * pi * 3 * (3 + 4) = 42 * pi, co nie jest trzykrotnością całkowitej powierzchni stożka, ponieważ kształty boków są różne.

Rozwiń sektor boczny

Pole powierzchni bocznej pi * r * l odpowiada sektorowi o promieniu równym wysokości skosu l i długości łuku równej obwodowi podstawy 2 * pi * r. Dla r = 3 i l = 5 długość łuku wynosi 6 * pi, a boczny SA wynosi 15 * pi.

Kąt sektora w radianach wynosi (2 * pi * r) / l = 6 * pi / 5; w stopniach, czyli 216 stopni. Sieci przecinają ten sektor plus oddzielny dysk o promieniu r, jeśli uwzględniona jest podstawa.

Zaczynając od nachylenia i promienia, odzyskujemy wysokość: h = sqrt(l^2 - r^2). Dla l = 5 i r = 3, h = 4, co zwraca objętość 12 * pi. Zaczynając od objętości i promienia, odzyskujemy wysokość przy h = 3 * V / (pi * r^2). Dzięki tym przegrupowaniom Kalkulator stożków jest zgodny z danymi arkusza, w których pominięto jedną z trzech długości r, h i l.

Uwaga dotycząca jednostek: promień, wysokość i nachylenie mają wspólną jednostkę długości. Objętość wykorzystuje jednostki sześcianu; pola powierzchni bocznej i całkowitej stosuje się w jednostkach kwadratowych. Ścięty stożek (ścięty stożek) potrzebuje dwóch promieni; przejdź do kalkulatora stożkowego ścięcia, gdy brakuje końcówki.

Najczęściej zadawane pytania

Podsumowanie

Kalkulator stożka zwraca objętość, wysokość nachylenia, powierzchnię boczną i całkowitą powierzchnię na podstawie promienia podstawy i wysokości, z podstawioną arytmetyką i oznaczoną figurą. Liczby przetworzone odpowiadają r = 3 i h = 4: skos 5, V = 12 * pi i całkowity SA = 24 * pi.

Użyj Kalkulatora Cylindra dla pasującej niezwężającej się bryły i Kalkulatora Stożkowego Frustum, gdy wierzchołek zostanie usunięty.