Kalkulator półkuli

Kalkulator półkuli konwertuje promień na objętość i pole powierzchni, aby uzyskać solidną półkulę. Półkula to połowa kuli przecięta przez wielki okrąg, więc bryła ma zakrzywioną kopułę i płaską okrągłą podstawę. Strona przerysowuje oznaczoną figurę z zaznaczonym promieniem do wprowadzonej wartości.

Wprowadź promień lub średnicę. Silnik zwraca objętość, powierzchnię zakrzywioną, powierzchnię bazową i powierzchnię całkowitą, dzięki czemu podstawa nigdy nie zostanie zapomniana na arkuszach egzaminacyjnych, w których pojawia się pytanie o powierzchnię całkowitą. Powiązane strony obejmują pełną wersję Sphere Calculator, gdy obecne są obie połówki, oraz Capsule Calculator, gdy dwie półkule zamykają cylinder.

Oblicz objętość półkuli

Objętość półkuli stanowi połowę objętości pełnej kuli o tym samym promieniu. Kalkulator półkuli wykorzystuje współczynnik dwóch trzecich uzyskany z podziału (4/3) * pi * r^3 na pół. Promień musi być dodatni. Wprowadzona średnica jest dzielona przez dwa przed uruchomieniem objętości.

V = (2/3) * pi * r^3

Nadal obowiązuje zależność sześcienna od promienia: podwojenie promienia zwiększa objętość półkuli przez osiem. Gdy arkusz kalkulacyjny podaje objętość zamiast promienia, odzyskaj r z pierwiastka sześciennego (3 * V) / (2 * pi), a następnie odśwież dane wyjściowe powierzchni z tego samego promienia.

Dla promienia odniesienia r = 6:

V = (2/3) * pi * 216 = 144 * pi approx 452.39

Wartość ta stanowi dokładnie połowę objętości kuli 288 * pi przy r = 6. Dokładna postać 144 * pi jest preferowana w przypadku papierów, w których uwzględnia się współczynnik pi. Tryb dziesiętny pokazuje około 452,39, używając pi około 3,14159 tylko do wyświetlania.

Częstym błędem jest traktowanie objętości półkuli jako (4/3) * pi * r^3 bez połowy. Innym jest pomylenie półkuli z półkulą lub misą, która nie jest prawdziwą półkulą. Na tej stronie przyjęto planarne cięcie średnicowe przez środek.

Oblicz całkowitą powierzchnię

Całkowita powierzchnia półkuli stałej obejmuje zakrzywioną kopułę i płaską okrągłą podstawę. Kalkulator półkuli podaje obie części i ich sumę, więc pytania dotyczące powłoki lub materiału, które wymagają zamkniętej bryły, pozostają prawidłowe. Sam obszar zakrzywiony to połowa 4 * pi * r^2.

Curved SA = 2 * pi * r^2
Base area = pi * r^2
Total SA = 3 * pi * r^2

Zapominanie o podstawie zaniża całkowitą powierzchnię o jedną trzecią w stosunku do prawidłowej sumy. Język egzaminu ma znaczenie: „zakrzywiona powierzchnia” oznacza 2 * pi * r^2; „powierzchnia całkowita” oznacza 3 * pi * r^2. Panel wyników oznacza każdą wielkość tak, aby sformułowanie pytania znajdowało się w prawej linii.

Dla r = 6:

Curved SA = 2 * pi * 36 = 72 * pi approx 226.19
Base area = pi * 36 = 36 * pi approx 113.10
Total SA = 3 * pi * 36 = 108 * pi approx 339.29

Połowa pola powierzchni pełnej kuli 144 * pi będzie wynosić 72 * pi, co odpowiada tylko części zakrzywionej. Całkowita powierzchnia półkuli jest większa ze względu na dysk.

Rozwiąż półkulę o promieniu 6

Użyj r = 6 jako wspólnego urządzenia ze stroną z kulami, aby uczniowie mogli porównywać liczby półkul i pełnych piłek obok siebie. Średnica wynosi 12. Objętość i powierzchnia całkowita wynikają z powyższych wzorów z czystymi wielokrotnościami pi. **1.

Diameter**

d = 2 * 6 = 12

2. Volume

V = (2/3) * pi * 216 = 144 * pi approx 452.39

3. Curved surface area

Curved SA = 2 * pi * 36 = 72 * pi approx 226.19

4. Total surface area

Total SA = 3 * pi * 36 = 108 * pi approx 339.29

Zaczynając od objętości 144 * pi odzyskuje r = 6. Zaczynając od całkowitej powierzchni 108 * pi odzyskuje ten sam promień poprzez r = sqrt(TSA / (3 * pi)). Te nasiona utrzymują silnik półkuli w jednej linii z oprawą kuli r = 6.

Kiedy problem opisuje kopułę, która jest mniejsza niż połowa kuli, bryłą jest kulista czapka, a nie półkula. Formuły czapek wymagają zarówno wysokości, jak i promienia i znajdują się poza tą stroną. Kiedy dwie półkule znajdują się na końcach cylindra, objętość jest równa objętości cylindra plus objętość kuli; użyj kalkulatora kapsułek dla tej substancji stałej.

Misy i kopuły w architekturze często przypominają półkule. Upewnij się, że cięcie przebiega przez środek: jeśli promień płaskiej powierzchni jest równy promieniowi kuli, bryła jest prawdziwą półkulą. Jeśli płaska ściana jest mniejszym równoległym okręgiem, bryła jest mniejszą kulistą czapką, a objętość jest mniejsza niż (2/3)*pi*r^3 dla tego promienia kuli.

Szacunki dotyczące powłoki muszą odpowiadać treści pytania. Farba na zewnątrz półkulistej kopuły ustawionej na podłodze może pomijać podstawę (używaj tylko zakrzywionej SA). Wolna, stała półkula obejmuje podstawę w sumie SA. Kalkulator półkuli drukuje oba, więc wybór pozostaje widoczny.

Odzyskaj promień ze znanej miary

Kiedy arkusz kalkulacyjny podaje objętość zamiast promienia, rozwiąż V = (2/3) * pi * r^3 dla r. Zmień układ na r^3 = (3 * V) / (2 * pi), a następnie weź dodatni pierwiastek sześcienny. Przykład: jeśli V = 144 * pi, to r^3 = (3 * 144 * pi) / (2 * pi) = 216, więc r = 6.

Refresh curved and total surface areas from that same radius.

Jeśli znana jest całkowita powierzchnia, użyj TSA = 3 * pi * r^2, więc r = sqrt(TSA / (3 * pi)). Dla TSA = 108 * pi, r^2 = 36 i r = 6. W przypadku problemów związanych wyłącznie z zakrzywieniem używa się zamiast tego CSA = 2 * pi * r^2, co przywraca inną relację: r = sqrt(CSA / (2 * pi)). Dopasowanie sformułowania pytania do prawidłowego wzoru pozwala uniknąć błędu powierzchniowego wynoszącego jedną trzecią.

Uwaga dotycząca jednostek: promień i średnica mają wspólną jednostkę długości. Objętość wykorzystuje jednostki sześcianów o tej długości; każda miara powierzchni wykorzystuje jednostki kwadratowe. Mieszanie centymetrów promienia z metrami powiązanej średnicy pełnej kuli przerywa porównanie półkuli.

Najczęściej zadawane pytania

Podsumowanie

Kalkulator półkuli zwraca objętość, pole powierzchni zakrzywionej, pole podstawy i pole powierzchni całkowitej dla pełnej półkuli na podstawie promienia lub średnicy, z podstawioną arytmetyką i oznaczoną figurą. Przepracowane liczby odpowiadają r = 6: V = 144 * pi i całkowite SA = 108 * pi.

Użyj Kalkulatora Sfery dla pełnej kuli i Kalkulatora Kapsuły, gdy półkule zamykają cylindryczny korpus.