Kalkulator stożka ściętego

Kalkulator stożka ściętego przekształca dwa równoległe promienie kołowe i prostopadłą wysokość między nimi na objętość, wysokość skosu, powierzchnię boczną i powierzchnię całkowitą. Stożkowy stożek to prawy okrągły stożek z wierzchołkiem odciętym płaszczyzną równoległą do podstawy. Strona ponownie rysuje oznaczoną figurę z zaznaczonymi promieniami i wysokością.

Wprowadź większy promień R, mniejszy promień r i wysokość h. Na powiązanych stronach opisano pełny Cone Calculator przed cięciem, Pyramid Frustum Calculator dla piramidy ściętej kwadratowej oraz Cylinder Calculator, gdy R równa się r.

Oblicz objętość stożka ściętego

Objętość stożkowej ściętej miesza oba obszary podstawy ze średnim geometrycznym wyrazem krzyżowym poniżej jednej trzeciej współczynnika. Kalkulator stożka ściętego wykorzystuje standardowy wzór stożka ściętego. Promienie i wysokość muszą być dodatnie.

V = (pi * h / 3) * (R^2 + R * r + r^2)

Kiedy r zbliża się do 0, wzór redukuje się do (1/3) * pi * R^2 * h, czyli pełnego stożka. Kiedy R równa się r, redukuje się do pi * R^2 * h, cylindra. Limity te stanowią użyteczną kontrolę zdrowego rozsądku.

Dla R = 5, r = 3, h = 6:

V = (pi * 6 / 3) * (25 + 15 + 9) = 2 * pi * 49 = 98 * pi approx 307.88

Dokładna forma 98 * pi odpowiada zarysowi urządzenia. Objętość nie jest średnią objętości dwóch cylindrów przy R i r razy wysokość; ta średnia pomijałaby termin R*r i była zaniżona. Termin krzyżowy ma znaczenie.

Oblicz wysokość skosu i powierzchnię

Wysokość skosu s to odległość wzdłuż nachylonego boku pomiędzy dwiema okrągłymi krawędziami. Dla prawej ściętej s jest przeciwprostokątną wysokości h i różnicy promieniowej R - r. Powierzchnia boczna wykorzystuje pi * (R + r) * s. Całkowita powierzchnia dodaje obie okrągłe podstawy.

s = sqrt(h^2 + (R - r)^2)
Lateral SA = pi * (R + r) * s
Total SA = Lateral SA + pi * R^2 + pi * r^2

Użycie wysokości prostopadłej zamiast skosu powoduje zmniejszenie ściany. Otwórz wiadra, które pomijają jedną podstawę, odejmij ten okrąg od całkowitej powierzchni.

Dla R = 5, r = 3, h = 6:

s = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10) approx 6.32
Lateral SA = pi * (5 + 3) * sqrt(40) = 8 * pi * sqrt(10) approx 79.48
Total SA = Lateral SA + pi * 25 + pi * 9 = Lateral SA + 34 * pi approx 186.30

Rozwiąż bryłę ściętą o promieniach 5 i 3 i wysokości 6

Przyjmij R = 5, r = 3 i h = 6 jako odniesienie stożka ściętego. Objętość wynosi 98 * pi. Wysokość nachylenia wynosi sqrt(40). 1. Tom

V = 98 * pi approx 307.88

2. Slant height

s = sqrt(40) approx 6.32

3. Lateral surface area

Lateral SA = 8 * pi * sqrt(10) approx 79.48

Pełny stożek, który sięga do punktu poza małym końcem, miałby wysokość większą niż 6; odzyskanie tego stożka wymaga podobnych trójkątów i jest opcjonalne w przypadku samej objętości ściętego stożka. Ta strona oblicza bezpośrednio obciętą bryłę.

Podobne trójkąty łączą brakującą końcówkę z zachowaną ściętą częścią. Jeśli duży promień podstawy wynosi R, a mały r, współczynnik skali od pełnego stożka do usuniętej końcówki wynosi r/R. Pełna wysokość stożka H spełnia r/R = (H - h)/H, więc H = h / (1 - r/R). Dla R = 5, r = 3, h = 6: H = 6 / (1 - 3/5) = 6 / (2/5) = 15. Pełna objętość stożka wynosi (1/3)*pi*25*15 = 125 * pi; objętość końcówki wynosi (1/3)*pi*9*9 = 27 * pi; różnica 98 * pi odpowiada wzorowi ściętego.

Rozpoznawanie ścięć w przedmiotach codziennego użytku

Ścięte stożki pojawiają się, gdy pełny stożek zostanie przecięty płaszczyzną równoległą do podstawy. Wiadra, abażury, zwężające się kieliszki, doniczki i niektóre lejki przybliżają ten kształt. Aby uzyskać najlepszą dokładność, zmierz promienie (lub średnice) otwarcia i wysokość pionową pomiędzy równoległą górą i dołem.

Zamiast tego w kalkulatorze piramidy frustum uwzględniane są stożkowe kanały z kwadratowymi końcami. Rury o stałym promieniu należą do kalkulatorów Cylindra lub Rury. Klosz, który rozszerza się dzięki zakrzywionemu profilowi, nie jest ściętym stożkiem prawoskrętnym; wzory tutaj zakładają proste generatory pomiędzy dwoma okręgami.

Zbuduj siatkę boczną o skośnej wysokości

Pole powierzchni bocznej wykorzystuje wysokość nachylenia s = sqrt(h^2 + (R - r)^2), a nie samą wysokość prostopadłą. Dla R = 5, r = 3, h = 6, s = sqrt(40).

Ściana rozwija się, tworząc sektorową siatkę ściętą, której proste krawędzie mają długość s i których łuki odpowiadają dwóm obwodom 2 * pi * R i 2 * pi * r.

Lateral SA = pi * (R + r) * s = 8 * pi * sqrt(10) for the reference case.

Zamknięte bryły dodają tutaj obie podstawy: pi * R^2 + pi * r^2 = 34 * pi. Otwórz segmenty, które pomijają dużą podstawę, odejmij pi * R^2; pomiń mały otwór, odejmując pi * r^2. Użycie h zamiast s powoduje zaniżoną liczbę powłok na pochyłej ścianie.

Uwaga dotycząca jednostek: zarówno promień, jak i wysokość mają wspólną jednostkę długości. Objętość wyrażona jest w jednostkach sześciennych; skosy i powierzchnie używają tej samej długości do pomiaru kwadratu. Wprowadź średnice dopiero po podzieleniu na pół lub użyj pól średnicy, jeśli narzędzie podzieli je na pół przed uruchomieniem formuł.

Najczęściej zadawane pytania

Podsumowanie

Kalkulator stożkowego ściętego zwraca objętość, wysokość nachylenia i pola powierzchni ściętego prawego okrągłego stożka na podstawie dwóch promieni i wysokości, z podstawioną arytmetyką i oznaczoną figurą. Liczby przetworzone odpowiadają R = 5, r = 3, h = 6: V = 98 * pi i skośnemu sqrt(40).

Użyj kalkulatora stożka dla nieobciętej bryły i kalkulatora piramidy ściętej dla kwadratowych ostrosłupów ściętych.