Der Pyramidenrechner konzentriert sich auf eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, deren Spitze über der Mitte der Grundfläche liegt. Geben Sie die Länge der Basisseite und die senkrechte Höhe ein, um das Volumen, die Höhe der Flächenschräge, die Seitenfläche und die Gesamtfläche zu erhalten. Die Seite zeichnet eine beschriftete Figur neu, wobei Basis und Höhe entsprechend den eingegebenen Werten markiert sind.
Das Volumen verwendet denselben Drittelfaktor wie ein Kegel, aber die Grundfläche ist eher ein Quadrat als ein Kreis. Verwandte Seiten behandeln den Cone Calculator für eine kreisförmige Basis, den Pyramid Frustum Calculator mit abgeschnittener Spitze und den Rectangular Prism Calculator für einen Kasten ohne Spitze.
Berechnen Sie das Volumen einer Pyramide
Das Volumen einer Pyramide beträgt ein Drittel mal Grundfläche mal senkrechte Höhe. Der Pyramidenrechner verwendet eine quadratische Grundfläche mit der Seite a, daher ist die Grundfläche ein Quadrat. Seitenlänge und -höhe müssen positiv sein.
V = (1/3) * a^2 * hDer Ein-Drittel-Faktor entspricht Kegeln und allgemeinen Pyramiden mit einer beliebigen polygonalen Grundfläche: Ersetzen Sie a^2 durch die tatsächliche Grundfläche, wenn die Grundfläche nicht quadratisch ist. Das Vergessen des Drittels verdreifacht das gemeldete Volumen. Das Volumen skaliert mit dem Quadrat der Seite und linear mit der Höhe.
Für quadratische Grundfläche a = 6 und h = 4:
V = (1/3) * 36 * 4 = 48Es erscheint kein Pi, da die Basis vieleckig ist. Wenn Volumen und Basisseite bekannt sind, ergibt sich für die Höhe 3 * V / a^2. Wenn Volumen und Höhe bekannt sind, erholt sich die Seite als positive Quadratwurzel von 3 * V/h.
Die Position des Scheitelpunkts ist für die Oberfläche von Bedeutung, nicht jedoch für diese Volumenformel, wenn die Höhe der senkrechte Abstand von der Basisebene zum Scheitelpunkt ist. Auf dieser Seite wird von einer geraden quadratischen Pyramide ausgegangen, deren Spitze über der Basismitte liegt, sodass die Schräghöhen auf allen vier Flächen übereinstimmen.
Berechnen Sie die Schräghöhe
Die Neigungshöhe entlang einer Fläche verläuft vom Mittelpunkt einer Basiskante über die dreieckige Fläche hinauf bis zur Spitze. Die Hälfte der Basisseite und die senkrechte Höhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der schrägen Höhe als Hypotenuse. Der Pyramidenrechner wendet die pythagoräische Stufe vor der Seitenfläche an.
l = sqrt((a/2)^2 + h^2)Diese Flächenneigung ist die Höhe jeder gleichschenkligen dreieckigen Fläche, gemessen von der Basiskante bis zur Spitze entlang der Fläche. Die Kantenschräge von einer Basisecke zum Scheitelpunkt ist länger und wird nicht für die Flächenformel auf dieser Seite verwendet.
Für a = 6 und h = 4:
l = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5Das 3-4-5-Triple erscheint, weil die Hälfte von 6 3 ist. Bei dieser Wahl bleiben Flächenfläche und Gesamtoberfläche im bearbeiteten Beispiel als ganze Zahlen erhalten.
Berechnen Sie die Seiten- und Gesamtoberfläche
Die Seitenfläche ist die Summe der vier kongruenten Dreiecksflächen. Jede Fläche hat eine Basis a und eine Flächenhöhe gleich der Schräghöhe l, sodass eine Flächenfläche (1/2) * a * l beträgt. Zur Gesamtfläche kommt die quadratische Grundfläche hinzu. Der Pyramidenrechner meldet beides.
Lateral SA = 4 * (1/2) * a * l = 2 * a * l
Total SA = Lateral SA + a^2Wenn Sie die senkrechte Höhe anstelle der schrägen Höhe verwenden, wird jede Fläche unterzählt. Netzprobleme, die die vier Dreiecke entfalten, benötigen eine Neigungshöhe auf der Gesichtshöhe.
Für a = 6 und l = 5:
Lateral SA = 2 * 6 * 5 = 60
Base area = 36
Total SA = 96Ein Pyramidenstumpf mit zwei quadratischen Flächen benötigt eine andere Volumenformel, die beide Grundflächen mischt. Verwenden Sie den Pyramidenstumpfrechner für Pyramidenstümpfe wie Trichter und konische Kanäle.
Lösen Sie eine quadratische Pyramide mit der Grundfläche 6 und der Höhe 4
Nehmen Sie die Basisseite a = 6 und die Höhe h = 4 als Referenzpyramide. Die Neigungshöhe beträgt 5. Das Volumen beträgt 48. Die Seitenfläche beträgt 60 und die Gesamtfläche 96. 1. Schräghöhe
l = sqrt((6/2)^2 + 4^2) = 52. Volume
V = (1/3) * 6^2 * 4 = 483. Lateral surface area
Lateral SA = 2 * 6 * 5 = 604. Total surface area
Total SA = 60 + 36 = 96Ein Kegel mit einem Basisradius von 3 (der Durchmesser passt also unterschiedlich zur Halbseitengeometrie) und einer Höhe von 4 hat ein Volumen von 12 * pi, was allein aufgrund der Seitenlänge nicht vergleichbar ist. Ein quadratisches Prisma mit der Basis 6 und der Höhe 4 hat ein Volumen von 144, das Dreifache des Pyramidenvolumens, was der Drittelregel entspricht, wenn Basen und Höhen übereinstimmen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Pyramidenvolumen?
Das Pyramidenvolumen beträgt V = (1/3) * Grundfläche * Höhe. Für eine quadratische Grundfläche gilt V = (1/3) * a^2 * h. Mit a = 6 und h = 4 ist V = 48.
Wie finde ich die Neigungshöhe einer quadratischen Pyramide?
Die Neigungshöhe entlang einer Fläche beträgt l = sqrt((a/2)^2 + h^2). Für a = 6 und h = 4 ist l = 5.
Was ist die Mantelfläche?
Die Seitenfläche beträgt 2 * a * l für vier dreieckige Flächen. Für a = 6 und l = 5, laterale SA = 60.
Benötigt der Pyramidenrechner eine quadratische Grundfläche?
Auf dieser Seite wird eine quadratische Basis modelliert. Die Volumenformel gilt weiterhin für andere Basen, wenn die Basisfläche a^2 ersetzt.
Wie verhält sich eine Pyramide zu einem Kegel?
Beide nutzen (1/3) * Grundfläche * Höhe. Der Kegel verwendet pi * r^2 für die Grundfläche; Die Pyramide nutzt die vieleckige Grundfläche.
Was ist ein Pyramidenstumpf?
Ein Pyramidenstumpf ist eine Pyramide, deren Spitze parallel zur Basis abgeschnitten ist. Verwenden Sie den Pyramidenstumpfrechner für zwei quadratische Seiten und eine Höhe.
Kann ich mit der Lautstärke beginnen?
Ja. Bei bekannter Seite a ist h = 3 * V / a^2. Bei bekannter Höhe ist a = sqrt(3 * V / h).
Welche Einheiten verwendet der Pyramidenrechner?
Seite und Höhe teilen sich eine Längeneinheit. Für das Volumen werden Würfeleinheiten verwendet. Flächen werden in quadratischen Einheiten angegeben.
Wie groß ist die Gesamtoberfläche der Referenzpyramide?
Die Gesamtoberfläche beträgt 96: seitlich 60 plus Basis 36, mit a = 6 und l = 5.
Wie unterscheidet sich die Kantenneigung von der Flächenneigung?
Die Kantenschräge verläuft von einer Basisecke bis zum Scheitelpunkt und ist länger als die Flächenschräge l von einem Kantenmittelpunkt aus. Im seitlichen Bereich wird die Gesichtsschräge verwendet.
Kann die Spitze außermittig sitzen?
Das Volumen verwendet immer noch (1/3)*Grundfläche*senkrechte Höhe. Die Oberflächenformeln auf dieser Seite gehen von einer geraden quadratischen Pyramide mit gleichen Flächenneigungen aus.
Zusammenfassung
Der Pyramidenrechner gibt Volumen, Flächenneigungshöhe, Mantelfläche und Gesamtoberfläche für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit substituierter Arithmetik und einer beschrifteten Zahl zurück. Die ausgearbeiteten Zahlen stimmen mit Basis 6 und Höhe 4 überein: Neigung 5, Volumen 48 und Gesamt-SA 96. Verwenden Sie den Kegelrechner für eine kreisförmige Basis und den Pyramidenstumpf-Rechner, wenn die Spitze entfernt wird.