Kalkulator Twierdzeń o Trójkątach rozwiązuje trójkąt na podstawie dowolnych trzech znanych wymiarów, boków lub kątów, stosując dowolne klasyczne twierdzenie pasujące do danej kombinacji: twierdzenie o sumie kątów, prawo sinusów lub prawo cosinusów. Wprowadź trzy wartości, a narzędzie zidentyfikuje przypadek, nazwie użyte twierdzenie i zwróci każdy pozostały bok, kąt i pomiar pochodny.
Geometria trójkąta opiera się na niewielkim zestawie twierdzeń, które razem mogą rozwiązać dowolny trójkąt na podstawie trzech znanych pomiarów. Wiedza o tym, które twierdzenie ma zastosowanie do której kombinacji znanych, jest rzeczywistą umiejętnością; ta strona podaje nazwę tego twierdzenia na każdym kroku, zamiast ukrywać metodę za pojedynczą odpowiedzią z czarnej skrzynki.
Zastosuj twierdzenie o sumie kątów
Suma trzech kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi dokładnie 180 stopni, niezależnie od kształtu i rozmiaru trójkąta. Jest to najprostsze z trzech twierdzeń i najszybsze do zastosowania, gdy znane są już dwa kąty.
A + B + C = 180°Przykład praktyczny: trójkąt ma kąty A = 50° i B = 60°. Znajdź kąt C.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Zastosuj twierdzenie sinusów
Prawo sinusów wiąże każdą stronę z sinusem jej przeciwnego kąta, co jest przydatne, gdy znany jest zarówno bok, jak i jego przeciwny kąt.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Twierdzenie to rozwiązuje bezpośrednio przypadki ASA, AAS i SSA. ASA i AAS zawsze dają jedną odpowiedź, gdy twierdzenie o sumie kątów znajdzie trzeci kąt. SSA to przypadek niejednoznaczny, który może dać zero, jeden lub dwa ważne trójkąty, w zależności od konkretnych wartości.
Zastosuj twierdzenie cosinusów
Prawo cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa na dowolny trójkąt, co jest przydatne, gdy nie jest dostępna para kątów, aby zacząć od prawa sinusów.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)To twierdzenie rozwiązuje przypadek SSS (przestawiony w celu rozwiązania dla każdego kąta) i przypadek SAS (używany bezpośrednio do znalezienia brakującego boku). Gdy w ten sposób zostanie znaleziona jedna para kątów bocznych, prawo sinusów może bardziej bezpośrednio zakończyć pozostałe niewiadome.
Określ, które twierdzenie ma zastosowanie w Twoim przypadku
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | dowolne dwa z trzech kątów | angle sum theorem |
| ASA / AAS | dwa kąty i bok | law of sines |
| SSA | dwa boki i kąt nieuwzględniony | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dwa boki i kąt zawarty | law of cosines |
Prawidłowe zidentyfikowanie przypadku przed wybraniem wzoru jest krokiem pomijanym przez większość podręcznikowych błędów, ponieważ zastosowanie błędnego twierdzenia do danej kombinacji albo kończy się niepowodzeniem, albo, co gorsza, daje liczbę, która wygląda wiarygodnie, ale nie jest faktycznie opisanym trójkątem.
Przeanalizuj pełny, mieszany przykład
Trójkąt ma boki a = 7, b = 9 i kąt C = 40° (kąt między nimi, przypadek SAS). 1. Zastosuj twierdzenie cosinusów, aby znaleźć bok c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. do ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, więc A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 - 40 - 51,0 = 89,0°.
Ta sekwencja, najpierw zasada cosinusów, następnie zasada sinusów, a następnie twierdzenie o sumie kątów, jest standardową ścieżką przez problem SAS i pokazuje, że wszystkie trzy twierdzenia działają razem w jednym trójkącie.
Dowiedz się, dlaczego wystarczą trzy pomiary
Trójkąt ma w sumie sześć wymiarów: trzy boki i trzy kąty. Znajomość dowolnych trzech z nich, o ile co najmniej jeden jest bokiem, ustala cały trójkąt (z jednym wyjątkiem niejednoznacznego przypadku SSA). Same trzy kąty nie wystarczą, ponieważ nieskończenie wiele podobnie ukształtowanych trójkątów o różnych rozmiarach ma te same trzy kąty.
Najczęściej zadawane pytania
Jakie są główne twierdzenia o trójkątach używane do rozwiązywania trójkątów?
Twierdzenie o sumie kątów (łącznie wszystkie kąty wynoszą 180°), prawo sinusów (bok nad sinusem przeciwnego kąta jest stały) i prawo cosinusów (uogólnienie twierdzenia Pitagorasa dla dowolnego trójkąta).
Skąd wiesz, którego twierdzenia użyć?
Określ, które trzy pomiary zostały podane. Same dwa kąty wymagają jedynie twierdzenia o sumie kątów. Para kątów bocznych z innym kątem lub bokiem wymaga prawa sinusów. Trzy boki lub dwa boki i kąt zawarty wymagają prawa cosinusów.
Czy same trzy kąty mogą rozwiązać trójkąt?
Nie. Trzy kąty decydują o kształcie trójkąta, ale nie o jego wielkości, ponieważ nieskończenie wiele podobnych trójkątów ma te same trzy kąty. Do ustalenia rzeczywistych wymiarów potrzebna jest co najmniej jedna długość boku.
Jaki jest ten niejednoznaczny przypadek?
SSA (dwa boki i kąt nieuwzględniony) może dać zero, jeden lub dwa prawidłowe trójkąty z tych samych trzech pomiarów, ponieważ zasada odwrotnego kroku sinusoidalnego może zwrócić dwa różne ważne kąty.
Czy te twierdzenia działają dla dowolnego trójkąta, a nie tylko dla trójkątów prostokątnych?
Tak. Zarówno zasada sinusów, jak i zasada cosinusów odnoszą się do każdego trójkąta. Prawo cosinusów w szczególności sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa jako szczególnego przypadku, gdy kąt zawarty wynosi 90 °.
Jakie inne wymiary można znaleźć po rozwiązaniu trójkąta?
Gdy znane są wszystkie sześć głównych pomiarów (trzy boki, trzy kąty), można z nich obliczyć pole powierzchni, obwód, trzy wysokości, środkowe oraz promienie okręgów wpisanych i opisanych.
Czy istnieje skrót specjalnie dla trójkątów prostokątnych?
Tak. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt ustalony na 90°, więc twierdzenie Pitagorasa i podstawowe stosunki trygonometryczne rozwiązują go bardziej bezpośrednio niż ogólne prawo sinusów lub cosinusów, bez konieczności stosowania pełnego zestawu twierdzeń.
Podsumowanie
Rozwiązanie dowolnego trójkąta sprowadza się do wybrania odpowiedniego twierdzenia dla trzech znanych pomiarów: twierdzenia o sumie kątów dla dwóch znanych kątów, twierdzenia sinusów dla pary kąt-bok (ASA, AAS lub niejednoznaczny SSA) oraz twierdzenia cosinusów dla SSS lub SAS.
Mieszany przykład SAS z bokami 7 i 9 oraz kątem 40° uwzględnia kolejno wszystkie trzy twierdzenia, znajdując trzeci bok o wartości około 5,79 i pozostałe dwa kąty.