Le calculateur de théorèmes triangulaires résout un triangle à partir de trois mesures, côtés ou angles connus, en appliquant le théorème classique correspondant à la combinaison donnée : le théorème de la somme des angles, la loi des sinus ou la loi des cosinus. Entrez trois valeurs et l'outil identifie le cas, nomme le théorème qu'il a utilisé et renvoie tous les côtés, angles et mesures dérivées restants.
La géométrie des triangles repose sur un petit ensemble de théorèmes qui, ensemble, peuvent résoudre n'importe quel triangle à partir de trois mesures connues. Savoir quel théorème s'applique à quelle combinaison de connaissances est la véritable compétence ; cette page nomme ce théorème à chaque étape plutôt que de cacher la méthode derrière une seule réponse en boîte noire.
Appliquer le théorème de la somme des angles
Les trois angles intérieurs de chaque triangle totalisent exactement 180 degrés, quelle que soit la forme ou la taille du triangle. C’est le plus simple des trois théorèmes et le plus rapide à appliquer lorsque deux angles sont déjà connus.
A + B + C = 180°Exemple concret : un triangle a des angles A = 50° et B = 60°. Trouvez l'angle C.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Appliquer la loi des sinus
La loi des sinus relie chaque côté au sinus de son angle opposé, utile chaque fois qu'un côté et son angle opposé sont tous deux connus.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Ce théorème résout directement les cas ASA, AAS et SSA. ASA et AAS donnent toujours une seule réponse une fois que le théorème de la somme des angles trouve le troisième angle. SSA est le cas ambigu, qui peut donner zéro, un ou deux triangles valides en fonction des valeurs spécifiques impliquées.
Appliquer la loi des cosinus
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à n'importe quel triangle, ce qui est utile lorsqu'aucune paire angle-côté n'est disponible pour commencer avec la loi des sinus.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Ce théorème résout le cas SSS (réorganisé pour résoudre chaque angle) et le cas SAS (utilisé directement pour trouver le côté manquant). Une fois qu’une paire d’angles latéraux est trouvée de cette façon, la loi des sinus peut terminer plus directement les inconnues restantes.
Identifiez quel théorème s'applique à votre cas
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | deux des trois angles | angle sum theorem |
| ASA / AAS | deux angles et un côté | law of sines |
| SSA | deux côtés et un angle non inclus | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | deux côtés et l'angle inclus | law of cosines |
Identifier correctement le cas avant de choisir une formule est l'étape que la plupart des erreurs de manuels sautent, car l'application du mauvais théorème à une combinaison donnée échoue carrément ou, pire, produit un nombre qui semble plausible mais qui n'est pas le triangle réellement décrit.
Travaillez sur un exemple mixte complet
Un triangle a des côtés a = 7, b = 9 et un angle C = 40° (l'angle entre eux, un cas SAS). 1. Appliquez la loi des cosinus pour trouver le côté c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. c ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, donc A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51,0 = 89,0°.
Cette séquence, loi des cosinus d'abord, puis loi des sinus, puis théorème de la somme des angles, est le chemin standard à travers un problème SAS, et elle montre les trois théorèmes travaillant ensemble sur un seul triangle.
Comprendre pourquoi trois mesures suffisent
Un triangle a six mesures au total : trois côtés et trois angles. En connaître trois, à condition qu'au moins un soit un côté, fixe le triangle entier (à la seule exception du cas ambigu SSA). Trois angles seuls ne suffisent pas, car une infinité de triangles de formes similaires et de tailles différentes partagent les mêmes trois angles.
Questions fréquentes
Quels sont les principaux théorèmes du triangle utilisés pour résoudre un triangle ?
Le théorème de la somme des angles (tous les angles totalisent 180°), la loi des sinus (le côté sur le sinus de l'angle opposé est constant) et la loi des cosinus (une généralisation du théorème de Pythagore pour n'importe quel triangle).
Comment savoir quel théorème utiliser ?
Identifiez les trois mesures données. Deux angles seuls n’ont besoin que du théorème de la somme des angles. Une paire d’angles latéraux avec un autre angle ou côté fait appel à la loi des sinus. Trois côtés, ou deux côtés et l'angle inclus, font appel à la loi des cosinus.
Trois angles peuvent-ils résoudre à eux seuls un triangle ?
Non. Trois angles fixent la forme du triangle mais pas sa taille, puisqu'une infinité de triangles similaires partagent les trois mêmes angles. Au moins une longueur de côté est nécessaire pour fixer les dimensions réelles.
Quel est le cas ambigu ?
SSA (deux côtés et un angle non inclus) peut produire zéro, un ou deux triangles valides à partir des trois mêmes mesures, car la loi du pas sinusoïdal inverse des sinus peut renvoyer deux angles valides différents.
Ces théorèmes fonctionnant-ils pour n'importe quel triangle, pas seulement pour les triangles rectangles ?
Oui. La loi des sinus et la loi des cosinus s’appliquent toutes deux à n’importe quel triangle. La loi des cosinus se réduit spécifiquement au théorème de Pythagore comme cas particulier lorsque l'angle inclus est de 90°.
Quelles autres mesures peut-on trouver une fois un triangle résolu ?
Une fois que les six mesures principales (trois côtés, trois angles) sont connues, l'aire, le périmètre, les trois hauteurs, les médianes et les rayons des cercles inscrits et circonscrits peuvent tous être calculés à partir d'elles.
Existe-t-il un raccourci spécifiquement pour les triangles rectangles ?
Oui. Un triangle rectangle a un angle fixé à 90°, donc le théorème de Pythagore et les rapports trigonométriques de base le résolvent plus directement que la loi générale des sinus ou la loi des cosinus, sans avoir besoin de l'ensemble complet du théorème.
Résumé
Résoudre n'importe quel triangle revient à choisir le bon théorème pour les trois mesures connues : le théorème de la somme des angles pour deux angles connus, la loi des sinus pour une paire angle-côté (ASA, AAS ou le SSA ambigu) et la loi des cosinus pour SSS ou SAS.
Un exemple SAS mixte avec les côtés 7 et 9 et un angle inclus de 40° traite les trois théorèmes en séquence, trouvant un troisième côté d'environ 5,79 et les deux angles restants.