Üçgen Teoremleri Hesaplayıcı, verilen kombinasyona uyan klasik teoremi uygulayarak bilinen herhangi üç ölçümden, kenarlardan veya açılardan bir üçgeni çözer: açı toplamı teoremi, sinüs kanunu veya kosinüs kanunu. Üç değer girdiğinizde araç durumu tanımlar, kullandığı teoremi adlandırır ve kalan tüm kenarları, açıları ve türetilmiş ölçümleri döndürür.
Üçgen geometrisi, bilinen üç ölçümden herhangi bir üçgeni birlikte çözebilen küçük bir teoremler dizisine dayanır. Hangi teoremin hangi bilinenler kombinasyonuna uygulanacağını bilmek asıl beceridir; bu sayfada, yöntemi tek bir kara kutu cevabının arkasına saklamak yerine, her adımda bu teoremin adı verilmektedir.
Açı toplamı teoremini uygulayın
Üçgenin şekli veya boyutu ne olursa olsun, her üçgenin üç iç açısının toplamı tam olarak 180 derecedir. Bu, üç teoremin en basitidir ve iki açının zaten bilindiği durumlarda uygulanması en hızlı olanıdır.
A + B + C = 180°Çözümlü örnek: Bir üçgenin açıları A = 50° ve B = 60°'dir. C açısını bulun.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Sinüs yasasını uygulayın
Sinüs kanunu, her bir tarafı karşıt açısının sinüsüyle ilişkilendirir; bu, hem bir tarafın hem de karşıt açının bilindiği durumlarda faydalıdır.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Bu teorem ASA, AAS ve SSA durumlarını doğrudan çözer. ASA ve AAS, açı toplamı teoremi üçüncü açıyı bulduğunda her zaman tek bir cevap verir. SSA, ilgili spesifik değerlere bağlı olarak sıfır, bir veya iki geçerli üçgen üretebilen belirsiz bir durumdur.
Kosinüs yasasını uygulayın
Kosinüs yasası, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene genelleştirir; sinüs yasasını başlatmak için hiçbir açı-kenar çifti bulunmadığında kullanışlıdır.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Bu teorem SSS durumunu (her açı için yeniden düzenlenmiş) ve SAS durumunu (doğrudan eksik tarafı bulmak için kullanılır) çözer. Bu şekilde bir yan açı çifti bulunduğunda sinüs kanunu kalan bilinmeyenleri daha doğrudan tamamlayabilir.
Durumunuz için hangi teoremin geçerli olduğunu belirleyin
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | üç açıdan herhangi ikisi | angle sum theorem |
| ASA / AAS | iki açı ve bir kenar | law of sines |
| SSA | iki kenar ve dahil olmayan bir açı | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | iki kenar ve dahil edilen açı | law of cosines |
Bir formülü seçmeden önce durumu doğru bir şekilde belirlemek, çoğu ders kitabı hatasının atladığı adımdır; çünkü yanlış teoremi belirli bir kombinasyona uygulamak ya doğrudan başarısız olur ya da daha kötüsü, makul görünen ancak gerçekte açıklanan üçgen olmayan bir sayı üretir.
Tam karma bir örnek üzerinde çalışın
Bir üçgenin kenarları a = 7, b = 9 ve açısı C = 40°'dir (aralarındaki açı, bir SAS durumu). 1. c kenarını bulmak için kosinüs yasasını uygulayın. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. c ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, yani A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51,0 = 89,0°.
Önce kosinüs kanunu, sonra sinüs kanunu, ardından açı toplamı teoremi olan bu dizi, bir SAS probleminde standart yoldur ve üç teoremin tek bir üçgen üzerinde birlikte çalıştığını gösterir.
Üç ölçümün neden yeterli olduğunu anlayın
Bir üçgenin toplam altı ölçüsü vardır: üç kenar ve üç açı. En az biri kenar olduğu sürece bunlardan herhangi üçünü bilmek, tüm üçgeni sabitler (belirsiz SSA durumu hariç). Farklı boyutlardaki benzer şekilli sonsuz sayıda üçgen aynı üç açıyı paylaştığından üç açı tek başına yeterli değildir.
Sıkça sorulan sorular
Bir üçgeni çözmek için kullanılan ana üçgen teoremleri nelerdir?
Açı toplamı teoremi (tüm açıların toplamı 180°), sinüs kanunu (karşı açının sinüs kenarı sabittir) ve kosinüs kanunu (herhangi bir üçgen için Pisagor teoreminin genelleştirilmesi).
Hangi teoremi kullanacağınızı nasıl anlarsınız?
Hangi üç ölçümün verildiğini belirleyin. İki açı tek başına yalnızca açı toplamı teoremine ihtiyaç duyar. Başka bir açıya veya kenara sahip bir yan açı çifti sinüs yasasını gerektirir. Üç kenar veya iki kenar ve dahil edilen açı kosinüs yasasını gerektirir.
Üç açı tek başına bir üçgeni çözebilir mi?
Hayır. Sonsuz sayıda benzer üçgen aynı üç açıyı paylaştığından, üç açı üçgenin şeklini belirler ancak boyutunu belirlemez. Gerçek boyutları sabitlemek için en az bir kenar uzunluğuna ihtiyaç vardır.
Belirsiz durum nedir?
SSA (iki kenar ve dahil edilmeyen bir açı), aynı üç ölçümden sıfır, bir veya iki geçerli üçgen üretebilir, çünkü sinüs yasasının ters sinüs adımı iki farklı geçerli açı döndürebilir.
Bu teoremler sadece dik üçgenler için değil, herhangi bir üçgen için işe yarar mı?
Evet. Sinüs kanunu ve kosinüs kanunu her üçgen için geçerlidir. Kosinüs yasası, iç açı 90° olduğunda özel bir durum olarak Pisagor teoremine indirgenir.
Bir üçgen çözüldükten sonra başka hangi ölçümler bulunabilir?
Altı temel ölçümün tamamı (üç kenar, üç açı) bilindikten sonra, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin alanı, çevresi, üç yüksekliği, ortancaları ve yarıçapları hesaplanabilir.
Özellikle dik üçgenler için bir kısayol var mı?
Evet. Bir dik üçgenin 90°'de sabitlenmiş bir açısı vardır, bu nedenle Pisagor teoremi ve temel trigonometrik oranlar, tam teorem setine ihtiyaç duymadan, bunu genel sinüs yasasından veya kosinüs yasasından daha doğrudan çözer.
Özet
Herhangi bir üçgeni çözmek, bilinen üç ölçüm için doğru teoremi seçmeye bağlıdır: bilinen iki açı için açı toplamı teoremi, bir açı-kenar çifti için sinüs yasası (ASA, AAS veya belirsiz SSA) ve SSS veya SAS için kosinüs yasası.
Kenarları 7 ve 9 ve 40°'lik bir iç açıya sahip karışık bir SAS örneği, üç teoremin tamamını sırayla inceleyerek yaklaşık 5,79'luk bir üçüncü kenarı ve kalan iki açıyı bulur.
İlgili hesap makineleri
Üçgen Hesap Makinesi · Sinüs Üçgen Yasası Hesap Makinesi · Kosinüs Üçgen Yasası Hesap Makinesi