三角形の定理計算ツールは、指定された組み合わせに適合する古典的な定理 (角度和定理、サインの法則、またはコサインの法則) を適用することにより、既知の 3 つの測定値、辺または角度から三角形を解きます。 3 つの値を入力すると、ツールはケースを識別し、使用した定理に名前を付け、残りのすべての辺、角度、および導出された測定値を返します。
三角形の幾何学は、3 つの既知の測定値から任意の三角形を解くことができる小さな定理に基づいています。どの定理が既知のどの組み合わせに適用されるかを知ることが実際のスキルです。このページでは、単一のブラックボックスの答えの背後にメソッドを隠すのではなく、すべてのステップでその定理に名前を付けています。
角度和定理を適用する
三角形の形やサイズに関係なく、すべての三角形の 3 つの内角を合計すると、正確に 180 度になります。これは 3 つの定理の中で最も単純で、2 つの角度が既知である場合に適用するのが最も速い定理です。
A + B + C = 180°実際の例: 三角形の角度は A = 50°、B = 60°です。角度 C を求めます。
C = 180 − 50 − 60 = 70°。
正弦の法則を適用する
正弦の法則は、各辺をその反対側の角度の正弦に関連付けます。これは、辺とその反対側の角度の両方が既知である場合に役立ちます。
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)この定理は、ASA、AAS、および SSA の場合を直接解決します。 ASA と AAS は、角度和定理で 3 番目の角度が見つかると、常に 1 つの答えを返します。 SSA はあいまいなケースであり、関係する特定の値に応じて、0、1、または 2 つの有効な三角形が生成される可能性があります。
余弦の法則を適用する
余弦の法則は、ピタゴラスの定理を任意の三角形に一般化します。これは、正弦の法則を開始するために使用できる角辺のペアがない場合に役立ちます。
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)この定理は、SSS の場合 (各角度を解決するために再配置) と SAS の場合 (欠落している辺を見つけるために直接使用) を解決します。この方法で 1 つの辺角のペアが見つかると、正弦の法則により残りの未知数をより直接的に完了できます。
どの定理が自分のケースに当てはまるかを特定する
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| 2つの角度 | 3 つの角度のうちのいずれか 2 つ | 角和定理 |
| ASA / AAS | 2つの角と1つの辺 | 正弦の法則 |
| SSA | 2 つの辺と非挟角 | サインの法則 (曖昧) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | 2辺と夾角 | 余弦の法則 |
公式を選択する前にケースを正しく識別することは、ほとんどの教科書の間違いがスキップするステップです。間違った定理を特定の組み合わせに適用すると、完全に失敗するか、さらに悪いことに、もっともらしく見えても実際に記述されている三角形ではない数値が生成されるためです。
完全に混合された例を理解する
三角形の辺は a = 7、b = 9、角度 C = 40° (それらの間の角度、SAS の場合) です。 1.余弦の法則を適用して辺 c を求めます。 c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0.766 ≈ 130 − 96.5 ≈ 33.5。
2. Take the square root. c ≈ √33.5 ≈ 5.79。
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5.79 ≈ 7 × 0.643 / 5.79 ≈ 0.777 したがって、A ≈ 51.0°。
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51.0 = 89.0°。
最初に余弦の法則、次に正弦の法則、次に角度和定理というこの順序は、SAS 問題の標準的なパスであり、3 つの定理すべてが 1 つの三角形で連携して機能することを示しています。
3 回の測定で十分な理由を理解する
三角形には、3 つの辺と 3 つの角度の合計 6 つの寸法があります。そのうちの 3 つがわかれば、少なくとも 1 つが辺である限り、三角形全体が修正されます (あいまいな SSA の場合を 1 つ除きます)。 3 つの角度だけでは十分ではありません。異なるサイズの無数の同様の形状の三角形が同じ 3 つの角度を共有するからです。
よくある質問
三角形を解くために使用される主な三角形定理は何ですか?
角和定理 (すべての角度の合計は 180°)、サインの法則 (正弦の反対側の辺は一定)、余弦の法則 (任意の三角形に対するピタゴラスの定理の一般化)。
どの定理を使用すればよいかどうやってわかりますか?
どの 3 つの測定値が与えられているかを特定します。 2 つの角度だけでは角度和定理のみが必要です。別の角度または辺との辺角のペアには、正弦の法則が必要です。 3 つの辺、または 2 つの辺と夾角により、余弦の法則が必要になります。
3 つの角だけで三角形を解くことができますか?
いいえ。3 つの角度は三角形の形状を決定しますが、サイズは決定しません。無限に多くの類似した三角形が同じ 3 つの角度を共有するためです。実際の寸法を確定するには、少なくとも 1 つの辺の長さが必要です。
曖昧なケースとは何ですか？
SSA (2 つの辺と含まれない角度) は、同じ 3 つの測定値から 0、1、または 2 つの有効な三角形を生成できます。これは、正弦の法則の逆正弦ステップが 2 つの異なる有効な角度を返す可能性があるためです。
これらの定理は直角三角形だけでなく、どんな三角形にも当てはまりますか?
はい。サインの法則とコサインの法則は両方ともどの三角形にも当てはまります。余弦の法則は、夾角が 90° の場合の特別な場合として、特にピタゴラスの定理に帰着します。
三角形を解くと、他にどのような測定値が得られるでしょうか?
6 つの主要な測定値 (3 つの辺、3 つの角度) がすべてわかったら、それらから面積、周長、3 つの高さ、中央値、内接円と外接円の半径をすべて計算できます。
特に直角三角形のショートカットはありますか?
はい。直角三角形は 1 つの角度が 90° に固定されているため、完全な定理セットを必要とせずに、ピタゴラスの定理と基本的な三角比を使用すると、一般的なサインの法則やコサインの法則よりも直接的に解くことができます。
まとめ
三角形を解くには、結局、3 つの既知の測定値に適した定理を選択する必要があります。つまり、2 つの既知の角度の角度和定理、角度辺のペア (ASA、AAS、またはあいまいな SSA) の正弦の法則、および SSS または SAS の余弦の法則です。
辺 7 と 9、夾角 40° を持つ混合 SAS の例では、3 つの定理すべてを順番に処理し、約 5.79 の 3 番目の辺と残りの 2 つの角度を見つけます。
関連する電卓
三角形の計算機 · 三角正弦の法則の計算機 · 三角余弦の法則の計算機