Triangelsatskalkylatorn löser en triangel från tre kända mått, sidor eller vinklar, genom att tillämpa vilken klassisk sats som passar den givna kombinationen: vinkelsummesatsen, sinuslagen eller cosinuslagen. Ange tre värden och verktyget identifierar fallet, namnger satsen det använde och returnerar varje återstående sida, vinkel och härledd mätning.
Triangelgeometrin vilar på en liten uppsättning satser som tillsammans kan lösa vilken triangel som helst från tre kända mätningar. Att veta vilket teorem som gäller vilken kombination av kända är den faktiska färdigheten; den här sidan namnger den teoremen vid varje steg snarare än att dölja metoden bakom ett enda svart-lådasvar.
Tillämpa vinkelsummesatsen
Varje triangels tre inre vinklar summerar till exakt 180 grader, oavsett triangelns form eller storlek. Detta är den enklaste av de tre satserna och den snabbaste att tillämpa närhelst två vinklar redan är kända.
A + B + C = 180°Bearbetat exempel: en triangel har vinklarna A = 50° och B = 60°. Hitta vinkel C.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Tillämpa sinuslagen
Sinuslagen relaterar varje sida till sinus för dess motsatta vinkel, användbart när en sida och dess motsatta vinkel båda är kända.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Detta teorem löser ASA-, AAS- och SSA-fallen direkt. ASA och AAS ger alltid ett enda svar när vinkelsummesatsen hittar den tredje vinkeln. SSA är det tvetydiga fallet, som kan ge noll, en eller två giltiga trianglar beroende på de specifika värdena som är involverade.
Tillämpa cosinuslagen
Cosinuslagen generaliserar Pythagoras sats till vilken triangel som helst, användbart när inget vinkel-sidepar är tillgängligt för att börja med sinuslagen.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Detta teorem löser SSS-fallet (omordnat för att lösa för varje vinkel) och SAS-fallet (används direkt för att hitta den saknade sidan). När ett sidovinkelpar har hittats på detta sätt, kan sinuslagen avsluta de återstående okända mer direkt.
Identifiera vilken sats som gäller för ditt fall
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | vilken som helst två av de tre vinklarna | angle sum theorem |
| ASA / AAS | två vinklar och en sida | law of sines |
| SSA | två sidor och en ej inkluderad vinkel | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | två sidor och den medföljande vinkeln | law of cosines |
Att identifiera fallet korrekt innan man väljer en formel är det steg som de flesta läroboksfel hoppar över, eftersom att tillämpa fel sats på en given kombination antingen misslyckas direkt eller, ännu värre, ger ett tal som ser rimligt ut men som inte är den triangel som faktiskt beskrivs.
Arbeta igenom ett helt blandat exempel
En triangel har sidorna a = 7, b = 9 och vinkeln C = 40° (vinkeln mellan dem, ett SAS-fall). 1. Tillämpa cosinuslagen för att hitta sidan c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. c ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, alltså A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51,0 = 89,0°.
Denna sekvens, cosinuslagen först, sedan sinuslagen, sedan vinkelsummasatsen, är standardvägen genom ett SAS-problem, och den visar alla tre satserna som arbetar tillsammans i en enda triangel.
Förstå varför det räcker med tre mätningar
En triangel har sex mått totalt: tre sidor och tre vinklar. Att känna till tre av dem, så länge som minst en är en sida, fixar hela triangeln (med undantag för det tvetydiga SSA-fallet). Enbart tre vinklar räcker inte, eftersom oändligt många trianglar av olika storlekar delar samma tre vinklar.
Vanliga frågor
Vilka är de viktigaste triangelsatserna som används för att lösa en triangel?
Vinkelsummasatsen (alla vinklar totalt 180°), sinuslagen (sida över sinus i motsatt vinkel är konstant) och cosinuslagen (en generalisering av Pythagoras sats för valfri triangel).
Hur vet du vilken sats du ska använda?
Identifiera vilka tre mått som anges. Enbart två vinklar behöver bara vinkelsummasatsen. Ett sidovinkelpar med en annan vinkel eller sida kräver sinuslagen. Tre sidor, eller två sidor och den inkluderade vinkeln, kräver cosinuslagen.
Kan tre vinklar ensamma lösa en triangel?
Nej. Tre vinklar fixerar triangelns form men inte dess storlek, eftersom oändligt många liknande trianglar delar samma tre vinklar. Minst en sidolängd behövs för att fixa de faktiska måtten.
Vad är det tvetydiga fallet?
SSA (två sidor och en icke inkluderad vinkel) kan producera noll, en eller två giltiga trianglar från samma tre mätningar, eftersom lagen om sinus omvända sinussteg kan returnera två olika giltiga vinklar.
Fungerar dessa satser för någon triangel, inte bara för räta trianglar?
Ja. Sinuslagen och cosinuslagen gäller båda för vilken triangel som helst. Cosinuslagen reduceras specifikt till Pythagoras sats som ett specialfall när den inkluderade vinkeln är 90°.
Vilka andra mått kan hittas när en triangel är löst?
När alla sex primära mätningar (tre sidor, tre vinklar) är kända kan area, omkrets, de tre höjderna, medianerna och radierna för de inskrivna och omskrivna cirklarna alla beräknas utifrån dem.
Finns det en genväg för räta trianglar specifikt?
Ja. En rätvinklig triangel har en vinkel fixerad till 90°, så Pythagoras sats och grundläggande trigonometriska förhållanden löser den mer direkt än den allmänna sinuslagen eller cosinuslagen, utan att behöva hela satsuppsättningen.
Sammanfattning
Att lösa valfri triangel handlar om att välja rätt sats för de tre kända mätningarna: vinkelsummasatsen för två kända vinklar, sinuslagen för ett vinkelsidepar (ASA, AAS eller det tvetydiga SSA) och cosinuslagen för SSS eller SAS.
Ett blandat SAS-exempel med sidorna 7 och 9 och en 40° inkluderad vinkel arbetar genom alla tre satserna i följd, och hittar en tredje sida på cirka 5,79 och de återstående två vinklarna.
Relaterade miniräknare
Triangel Calculator · Triangel Law of Sines Calculator · Triangel Law of Cosinus Calculator