삼각형 정리 계산기는 각도 합 정리, 사인 법칙, 코사인 법칙 등 주어진 조합에 맞는 고전 정리를 적용하여 세 가지 알려진 측정값, 변 또는 각도로부터 삼각형을 풉니다. 세 개의 값을 입력하면 도구가 사례를 식별하고 사용한 정리의 이름을 지정한 다음 나머지 모든 변, 각도 및 파생된 측정값을 반환합니다.
삼각형 기하학은 세 가지 알려진 측정값을 통해 삼각형을 풀 수 있는 작은 정리 세트에 기초합니다. 어떤 정리가 어떤 알려진 조합에 적용되는지 아는 것이 실제 기술입니다. 이 페이지에서는 단일 블랙박스 답변 뒤에 방법을 숨기지 않고 모든 단계에서 해당 정리를 명명합니다.
각도 합 정리 적용
삼각형의 모양이나 크기에 관계없이 모든 삼각형의 세 내각의 합은 정확히 180도입니다. 이것은 세 가지 정리 중 가장 간단하고 두 각도가 이미 알려져 있을 때 적용할 수 있는 가장 빠른 정리입니다.
A + B + C = 180°실제 예: 삼각형의 각도는 A = 50°이고 B = 60°입니다. 각도 C를 구합니다.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
사인 법칙을 적용해 보세요
사인 법칙은 각 변을 반대 각도의 사인과 연관시키며, 변과 반대 각도가 모두 알려져 있을 때마다 유용합니다.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)이 정리는 ASA, AAS 및 SSA 사례를 직접 해결합니다. ASA와 AAS는 각도 합 정리가 세 번째 각도를 찾으면 항상 단일 답을 제공합니다. SSA는 관련된 특정 값에 따라 0개, 1개 또는 2개의 유효한 삼각형을 생성할 수 있는 모호한 경우입니다.
코사인 법칙을 적용해 보세요
코사인 법칙은 피타고라스 정리를 모든 삼각형에 일반화하며, 사인 법칙으로 시작할 수 있는 각 변 쌍이 없을 때 유용합니다.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)이 정리는 SSS 사례(각 각도를 해결하기 위해 재배열됨)와 SAS 사례(빠진 변을 찾는 데 직접 사용됨)를 해결합니다. 이런 식으로 한 쌍의 측면 각도 쌍을 찾으면 사인 법칙을 통해 나머지 미지수를 더 직접적으로 마무리할 수 있습니다.
귀하의 사례에 어떤 정리가 적용되는지 확인하십시오
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| 두 개의 각도 | 세 각 중 어느 두 개 | 각도 합 정리 |
| ASA / AAS | 두 개의 각도와 한 개의 측면 | 사인의 법칙 |
| SSA | 양면과 포함되지 않은 각도 | 사인 법칙(모호함) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | 양면과 끼인각 | 코사인의 법칙 |
공식을 선택하기 전에 사례를 올바르게 식별하는 것은 대부분의 교과서 오류가 건너뛰는 단계입니다. 주어진 조합에 잘못된 정리를 적용하면 완전히 실패하거나 더 나쁜 경우 그럴듯해 보이지만 실제로 설명된 삼각형이 아닌 숫자가 생성되기 때문입니다.
전체 혼합 예제를 통해 작업
삼각형은 변 a = 7, b = 9, 각도 C = 40°(둘 사이의 각도, SAS 경우)를 갖습니다. 1. 코사인 법칙을 적용하여 변 c를 구합니다. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0.766 ≒ 130 − 96.5 ≒ 33.5.
2. Take the square root. c ≒ √33.5 ≒ 5.79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5.79 ≒ 7 × 0.643 / 5.79 ≒ 0.777, 따라서 A ≒ 51.0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51.0 = 89.0°.
코사인 법칙, 사인 법칙, 각도 합 정리로 구성된 이 수열은 SAS 문제를 통과하는 표준 경로이며 세 가지 정리가 모두 하나의 삼각형에서 함께 작용하는 것을 보여줍니다.
세 번의 측정만으로 충분한 이유 이해
삼각형에는 변 3개, 각도 3개 등 총 6개의 측정값이 있습니다. 적어도 하나가 변인 한 세 개를 알면 전체 삼각형이 수정됩니다(모호한 SSA 경우를 제외하고). 세 개의 각만으로는 충분하지 않습니다. 크기가 다르고 비슷한 모양의 삼각형이 무한히 많아 동일한 세 개의 각을 공유하기 때문입니다.
자주 묻는 질문
삼각형을 푸는 데 사용되는 주요 삼각형 정리는 무엇입니까?
각도 합 정리(모든 각도의 총합은 180°), 사인 법칙(반대 각도의 사인에 대한 변은 일정함) 및 코사인 법칙(모든 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 일반화)입니다.
어떤 정리를 사용해야 하는지 어떻게 알 수 있나요?
어떤 세 가지 측정값이 제공되는지 확인하세요. 두 각도만으로는 각도 합 정리만 필요합니다. 다른 각도나 변이 있는 변각 쌍에는 사인 법칙이 필요합니다. 세 변 또는 두 변과 끼인각은 코사인 법칙을 필요로 합니다.
세 각만으로 삼각형을 풀 수 있나요?
아니요. 세 개의 각도는 삼각형의 모양을 고정하지만 크기는 고정하지 않습니다. 무한히 많은 유사한 삼각형이 동일한 세 개의 각도를 공유하기 때문입니다. 실제 치수를 수정하려면 적어도 하나의 변 길이가 필요합니다.
모호한 경우는 무엇입니까?
SSA(양측 및 비포함 각도)는 동일한 세 측정값에서 0개, 1개 또는 2개의 유효한 삼각형을 생성할 수 있습니다. 사인의 역사인 단계 법칙이 두 개의 서로 다른 유효한 각도를 반환할 수 있기 때문입니다.
이 정리는 직각삼각형뿐만 아니라 모든 삼각형에 적용됩니까?
예. 사인의 법칙과 코사인의 법칙은 모두 모든 삼각형에 적용됩니다. 코사인 법칙은 끼인각이 90°일 때 특별한 경우로서 피타고라스의 정리로 귀결됩니다.
삼각형을 풀면 어떤 다른 측정값을 찾을 수 있나요?
6개의 기본 측정값(세 개의 변, 세 개의 각도)을 모두 알고 나면 면적, 둘레, 세 개의 높이, 중앙값, 내접원과 외접원의 반지름을 모두 계산할 수 있습니다.
직각삼각형에 대한 단축키가 특별히 있나요?
예. 직각삼각형은 한 각도가 90°로 고정되어 있으므로 피타고라스의 정리와 기본 삼각비는 전체 정리 세트가 필요 없이 일반 사인 법칙이나 코사인 법칙보다 더 직접적으로 이를 해결합니다.
요약
삼각형을 푸는 것은 알려진 세 가지 측정값에 대한 올바른 정리, 즉 알려진 두 각도에 대한 각도 합 정리, 각 변 쌍에 대한 사인 법칙(ASA, AAS 또는 모호한 SSA), SSS 또는 SAS에 대한 코사인 법칙을 선택하는 것으로 귀결됩니다.
변 7과 9 및 40° 끼인각이 있는 혼합 SAS 예는 세 가지 정리를 모두 순차적으로 통해 작동하여 약 5.79의 세 번째 변과 나머지 두 각도를 찾습니다.