La Calculadora de teoremas de triángulos resuelve un triángulo a partir de tres medidas, lados o ángulos conocidos, aplicando cualquier teorema clásico que se ajuste a la combinación dada: el teorema de la suma de los ángulos, la ley de los senos o la ley de los cosenos. Ingrese tres valores y la herramienta identificará el caso, nombrará el teorema que utilizó y devolverá todos los lados, ángulos y medidas derivadas restantes.
La geometría de los triángulos se basa en un pequeño conjunto de teoremas que, en conjunto, pueden resolver cualquier triángulo a partir de tres medidas conocidas. Saber qué teorema se aplica a qué combinación de conocimientos es la habilidad real; Esta página nombra ese teorema en cada paso en lugar de ocultar el método detrás de una única respuesta de recuadro negro.
Aplicar el teorema de la suma de ángulos
Los tres ángulos interiores de cada triángulo suman exactamente 180 grados, independientemente de la forma o el tamaño del triángulo. Este es el más simple de los tres teoremas y el más rápido de aplicar siempre que ya se conozcan dos ángulos.
A + B + C = 180°Ejemplo resuelto: un triángulo tiene ángulos A = 50° y B = 60°. Encuentra el ángulo C.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Aplicar la ley de los senos
La ley de los senos relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto, útil siempre que se conozcan tanto un lado como su ángulo opuesto.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Este teorema resuelve directamente los casos ASA, AAS y SSA. ASA y AAS siempre dan una única respuesta una vez que el teorema de la suma de ángulos encuentra el tercer ángulo. SSA es el caso ambiguo, que puede producir cero, uno o dos triángulos válidos dependiendo de los valores específicos involucrados.
Aplicar la ley de los cosenos
La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo, lo que resulta útil cuando no hay un par de lados ángulo disponible para comenzar con la ley de los senos.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Este teorema resuelve el caso SSS (reorganizado para resolver cada ángulo) y el caso SAS (usado directamente para encontrar el lado faltante). Una vez que se encuentra un par de ángulos laterales de esta manera, la ley de los senos puede resolver las incógnitas restantes de manera más directa.
Identifique qué teorema se aplica a su caso
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| dos angulos | cualesquiera dos de los tres ángulos | teorema de la suma de ángulos |
| ASA / AAS | dos ángulos y un lado | ley de los senos |
| SSA | dos lados y un ángulo no incluido | ley de los senos (ambigua) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dos lados y el ángulo incluido | ley de los cosenos |
Identificar el caso correctamente antes de elegir una fórmula es el paso que se saltan la mayoría de los errores de los libros de texto, ya que aplicar el teorema incorrecto a una combinación dada falla por completo o, peor aún, produce un número que parece plausible pero que no es el triángulo realmente descrito.
Trabaje a través de un ejemplo mixto completo
Un triángulo tiene lados a = 7, b = 9 y ángulo C = 40° (el ángulo entre ellos, un caso SAS). 1. Aplica la ley de los cosenos para encontrar el lado c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. c ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, entonces A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51,0 = 89,0°.
Esta secuencia, primero la ley de los cosenos, luego la ley de los senos y luego el teorema de la suma de los ángulos, es el camino estándar a través de un problema SAS y muestra los tres teoremas trabajando juntos en un solo triángulo.
Entiende por qué tres medidas son suficientes
Un triángulo tiene seis medidas en total: tres lados y tres ángulos. Conocer tres de ellos, siempre que al menos uno sea un lado, fija todo el triángulo (con la única excepción del ambiguo caso SSA). Tres ángulos por sí solos no son suficientes, ya que infinitos triángulos de diferentes tamaños y formas similares comparten los mismos tres ángulos.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son los principales teoremas del triángulo que se utilizan para resolver un triángulo?
El teorema de la suma de los ángulos (todos los ángulos suman 180°), la ley de los senos (el lado sobre el seno del ángulo opuesto es constante) y la ley de los cosenos (una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo).
¿Cómo sabes qué teorema usar?
Identifica qué tres medidas se dan. Solo dos ángulos necesitan solo el teorema de la suma de los ángulos. Un par de ángulos laterales con otro ángulo o lado requiere la ley de los senos. Tres lados, o dos lados y el ángulo incluido, requieren la ley de los cosenos.
¿Pueden por sí solos tres ángulos resolver un triángulo?
No. Tres ángulos fijan la forma del triángulo pero no su tamaño, ya que infinitos triángulos similares comparten los mismos tres ángulos. Se necesita al menos una longitud lateral para fijar las dimensiones reales.
¿Cuál es el caso ambiguo?
SSA (dos lados y un ángulo no incluido) puede producir cero, uno o dos triángulos válidos a partir de las mismas tres medidas, porque la ley del paso del seno inverso puede devolver dos ángulos válidos diferentes.
¿Estos teoremas funcionan para cualquier triángulo, no sólo para triángulos rectángulos?
Sí. Tanto la ley de los senos como la ley de los cosenos se aplican a cualquier triángulo. La ley de los cosenos se reduce específicamente al teorema de Pitágoras como un caso especial cuando el ángulo incluido es de 90°.
¿Qué otras medidas se pueden encontrar una vez resuelto un triángulo?
Una vez que se conocen las seis medidas principales (tres lados, tres ángulos), a partir de ellas se pueden calcular el área, el perímetro, las tres alturas, las medianas y los radios de los círculos inscritos y circunscritos.
¿Existe un atajo específicamente para triángulos rectángulos?
Sí. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo fijo de 90°, por lo que el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas básicas lo resuelven más directamente que la ley general de los senos o la ley de los cosenos, sin necesidad del conjunto completo de teoremas.
Resumen
Resolver cualquier triángulo se reduce a elegir el teorema correcto para las tres medidas conocidas: el teorema de la suma de ángulos para dos ángulos conocidos, la ley de los senos para un par de lados de ángulo (ASA, AAS o el ambiguo SSA) y la ley de los cosenos para SSS o SAS.
Un ejemplo de SAS mixto con lados 7 y 9 y un ángulo incluido de 40° analiza los tres teoremas en secuencia, encontrando un tercer lado de aproximadamente 5,79 y los dos ángulos restantes.