A Calculadora de Teoremas do Triângulo resolve um triângulo a partir de quaisquer três medidas, lados ou ângulos conhecidos, aplicando qualquer teorema clássico que se ajuste à combinação dada: o teorema da soma dos ângulos, a lei dos senos ou a lei dos cossenos. Insira três valores e a ferramenta identifica o caso, nomeia o teorema usado e retorna todos os lados, ângulos e medidas derivadas restantes.
A geometria do triângulo baseia-se em um pequeno conjunto de teoremas que, juntos, podem resolver qualquer triângulo a partir de três medidas conhecidas. Saber qual teorema se aplica a qual combinação de conhecimentos é a habilidade real; esta página nomeia esse teorema em cada etapa, em vez de ocultar o método por trás de uma única resposta de caixa preta.
Aplique o teorema da soma dos ângulos
Os três ângulos internos de cada triângulo somam exatamente 180 graus, independentemente da forma ou tamanho do triângulo. Este é o mais simples dos três teoremas e o mais rápido de aplicar sempre que dois ângulos já são conhecidos.
A + B + C = 180°Exemplo resolvido: um triângulo tem ângulos A = 50° e B = 60°. Encontre o ângulo C.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Aplicar a lei dos senos
A lei dos senos relaciona cada lado ao seno do seu ângulo oposto, útil sempre que um lado e o seu ângulo oposto são conhecidos.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Este teorema resolve diretamente os casos ASA, AAS e SSA. ASA e AAS sempre dão uma resposta única quando o teorema da soma dos ângulos encontra o terceiro ângulo. SSA é o caso ambíguo, que pode produzir zero, um ou dois triângulos válidos dependendo dos valores específicos envolvidos.
Aplicar a lei dos cossenos
A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo, útil quando nenhum par ângulo-lado está disponível para começar com a lei dos senos.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Este teorema resolve o caso SSS (reorganizado para resolver cada ângulo) e o caso SAS (usado diretamente para encontrar o lado faltante). Uma vez encontrado um par de ângulos laterais desta forma, a lei dos senos pode terminar as incógnitas restantes de forma mais direta.
Identifique qual teorema se aplica ao seu caso
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | quaisquer dois dos três ângulos | angle sum theorem |
| ASA / AAS | dois ângulos e um lado | law of sines |
| SSA | dois lados e um ângulo não incluído | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dois lados e o ângulo incluído | law of cosines |
Identificar o caso corretamente antes de escolher uma fórmula é a etapa que a maioria dos erros dos livros didáticos ignoram, uma vez que a aplicação do teorema errado a uma determinada combinação falha completamente ou, pior, produz um número que parece plausível, mas não é o triângulo realmente descrito.
Trabalhe com um exemplo misto completo
Um triângulo tem lados a = 7, b = 9 e ângulo C = 40° (o ângulo entre eles, um caso SAS). 1. Aplique a lei dos cossenos para encontrar o lado c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. c ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, então A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51,0 = 89,0°.
Esta sequência, primeiro a lei dos cossenos, depois a lei dos senos e depois o teorema da soma dos ângulos, é o caminho padrão através de um problema SAS e mostra todos os três teoremas trabalhando juntos em um único triângulo.
Entenda por que três medidas são suficientes
Um triângulo tem seis medidas no total: três lados e três ângulos. Conhecer quaisquer três deles, desde que pelo menos um seja um lado, fixa o triângulo inteiro (com a única exceção do caso ambíguo SSA). Três ângulos por si só não são suficientes, uma vez que um número infinito de triângulos de formatos semelhantes e tamanhos diferentes compartilham os mesmos três ângulos.
Perguntas frequentes
Quais são os principais teoremas do triângulo usados para resolver um triângulo?
O teorema da soma dos ângulos (todos os ângulos totalizam 180°), a lei dos senos (o lado sobre o seno do ângulo oposto é constante) e a lei dos cossenos (uma generalização do teorema de Pitágoras para qualquer triângulo).
Como você sabe qual teorema usar?
Identifique quais são as três medidas fornecidas. Somente dois ângulos precisam apenas do teorema da soma dos ângulos. Um par de ângulo lateral com outro ângulo ou lado exige a lei dos senos. Três lados, ou dois lados e o ângulo incluído, exigem a lei dos cossenos.
Três ângulos sozinhos podem resolver um triângulo?
Não. Três ângulos fixam a forma do triângulo, mas não o seu tamanho, uma vez que um número infinito de triângulos semelhantes partilham os mesmos três ângulos. É necessário pelo menos um comprimento lateral para fixar as dimensões reais.
Qual é o caso ambíguo?
SSA (dois lados e um ângulo não incluído) pode produzir zero, um ou dois triângulos válidos a partir das mesmas três medidas, porque a etapa inversa do seno da lei dos senos pode retornar dois ângulos válidos diferentes.
Esses teoremas funcionam para qualquer triângulo, não apenas para triângulos retângulos?
Sim. A lei dos senos e a lei dos cossenos se aplicam a qualquer triângulo. A lei dos cossenos reduz-se especificamente ao teorema de Pitágoras como um caso especial quando o ângulo incluído é 90°.
Que outras medidas podem ser encontradas depois que um triângulo é resolvido?
Uma vez conhecidas todas as seis medidas primárias (três lados, três ângulos), a área, o perímetro, as três alturas, as medianas e os raios dos círculos inscritos e circunscritos podem ser calculados a partir deles.
Existe um atalho especificamente para triângulos retângulos?
Sim. Um triângulo retângulo tem um ângulo fixo em 90°, então o teorema de Pitágoras e as razões trigonométricas básicas resolvem-no mais diretamente do que a lei geral dos senos ou a lei dos cossenos, sem a necessidade do conjunto completo de teoremas.
Resumo
Resolver qualquer triângulo se resume a escolher o teorema correto para as três medidas conhecidas: o teorema da soma dos ângulos para dois ângulos conhecidos, a lei dos senos para um par ângulo-lado (ASA, AAS ou o ambíguo SSA) e a lei dos cossenos para SSS ou SAS.
Um exemplo SAS misto com lados 7 e 9 e um ângulo incluído de 40° funciona através de todos os três teoremas em sequência, encontrando um terceiro lado de cerca de 5,79 e os dois ângulos restantes.