Калькулятор теорем треугольника решает треугольник по любым трем известным размерам, сторонам или углам, применяя любую классическую теорему, соответствующую заданной комбинации: теорему о сумме углов, закон синусов или закон косинусов. Введите три значения, и инструмент идентифицирует случай, называет используемую теорему и возвращает все оставшиеся стороны, углы и производные измерения.
Геометрия треугольника основана на небольшом наборе теорем, которые вместе могут решить любой треугольник на основе трех известных измерений. Знание того, какая теорема применима к какой комбинации известных знаний, является фактическим навыком; на этой странице эта теорема упоминается на каждом этапе, а не скрывается за одним ответом в виде черного ящика.
Примените теорему о сумме углов
Сумма трех внутренних углов каждого треугольника составляет ровно 180 градусов, независимо от формы и размера треугольника. Это самая простая из трех теорем, и ее быстрее всего применять, когда уже известны два угла.
A + B + C = 180°Рабочий пример: треугольник имеет углы A = 50° и B = 60°. Найдите угол С.
С = 180 − 50 − 60 = 70°.
Применить закон синусов
Закон синусов связывает каждую сторону с синусом противоположного ей угла, что полезно, когда известны и сторона, и противоположный ей угол.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Эта теорема напрямую решает случаи ASA, AAS и SSA. ASA и AAS всегда дают один ответ, как только теорема о сумме углов находит третий угол. SSA, это неоднозначный случай, который может дать ноль, один или два допустимых треугольника в зависимости от конкретных задействованных значений.
Применить закон косинусов
Закон косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник, что полезно, когда нет пары углов и сторон, чтобы начать с закона синусов.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Эта теорема решает случай SSS (переработанный для решения каждого угла) и случай SAS (используемый непосредственно для поиска недостающей стороны). Как только таким образом будет найдена одна пара боковых углов, закон синусов поможет более точно разобраться с оставшимися неизвестными.
Определите, какая теорема применима к вашему случаю
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | любые два из трёх углов | angle sum theorem |
| ASA / AAS | два угла и сторона | law of sines |
| SSA | две стороны и невключенный угол | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | две стороны и прилежащий угол | law of cosines |
Правильное определение случая перед выбором формулы, это шаг, который пропускают большинство ошибок в учебниках, поскольку применение неправильной теоремы к данной комбинации либо совершенно терпит неудачу, либо, что еще хуже, дает число, которое выглядит правдоподобным, но на самом деле не является описанным треугольником.
Проработайте полный смешанный пример
Треугольник имеет стороны a = 7, b = 9 и угол C = 40° (угол между ними, случай SAS). 1. Примените закон косинусов, чтобы найти сторону c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0,766 ≈ 130 − 96,5 ≈ 33,5.
2. Take the square root. в ≈ √33,5 ≈ 5,79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5,79 ≈ 7 × 0,643 / 5,79 ≈ 0,777, поэтому A ≈ 51,0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. Б = 180 − 40 − 51,0 = 89,0°.
Эта последовательность, сначала закон косинусов, затем закон синусов, а затем теорема о сумме углов, представляет собой стандартный путь решения задачи SAS и показывает, как все три теоремы работают вместе в одном треугольнике.
Поймите, почему трех измерений достаточно
Всего треугольник имеет шесть измерений: три стороны и три угла. Зная любые три из них, если хотя бы один является стороной, фиксируется весь треугольник (за единственным исключением неоднозначного случая SSA). Трех углов недостаточно, поскольку бесконечно много треугольников одинаковой формы и разных размеров имеют одни и те же три угла.
Часто задаваемые вопросы
Какие основные теоремы треугольника используются для решения треугольника?
Теорема о сумме углов (сумма всех углов 180°), закон синусов (сторона над синусом противоположного угла постоянна) и закон косинусов (обобщение теоремы Пифагора для любого треугольника).
Как узнать, какую теорему использовать?
Определите, какие три измерения даны. Только для двух углов нужна только теорема о сумме углов. Пара бокового угла с другим углом или стороной требует закона синусов. Три стороны или две стороны и прилежащий угол требуют закона косинусов.
Могут ли три угла решить треугольник?
Нет. Три угла определяют форму треугольника, но не его размер, поскольку бесконечно много подобных треугольников имеют одни и те же три угла. Для фиксации фактических размеров необходима длина хотя бы одной стороны.
Что за неоднозначный случай?
SSA (две стороны и не включенный угол) может создать ноль, один или два действительных треугольника из одних и тех же трех измерений, поскольку закон синусов обратного синусоидального шага может возвращать два разных допустимых угла.
Работают ли эти теоремы для любого треугольника, а не только для прямоугольных?
Да. Закон синусов и закон косинусов применимы к любому треугольнику. Закон косинусов сводится к теореме Пифагора как особый случай, когда прилежащий угол равен 90 °.
Какие еще измерения можно найти после решения треугольника?
Когда известны все шесть основных измерений (три стороны, три угла), на их основе можно вычислить площадь, периметр, три высоты, медианы и радиусы вписанных и описанных кругов.
Есть ли ярлык специально для прямоугольных треугольников?
Да. В прямоугольном треугольнике один угол зафиксирован на уровне 90°, поэтому теорема Пифагора и основные тригонометрические соотношения решают его более непосредственно, чем общий закон синусов или закон косинусов, без необходимости использования полного набора теорем.
Кратко
Решение любого треугольника сводится к выбору правильной теоремы для трех известных измерений: теоремы о сумме углов для двух известных углов, закона синусов для пары сторон угла (ASA, AAS или неоднозначного SSA) и закона косинусов для SSS или SAS.
Смешанный пример SAS со сторонами 7 и 9 и включенным углом 40 ° последовательно выполняет все три теоремы, находя третью сторону примерно 5,79 и оставшиеся два угла.
Сопутствующие калькуляторы
Калькулятор треугольника · Калькулятор закона синусов треугольника · Калькулятор закона косинусов треугольника