Hukum Segitiga Kalkulator Kosinus menyelesaikan segitiga apabila tiga sisi diketahui (SSS), atau apabila dua sisi dan sudut di antaranya diketahui (SAS). Masukkan ukuran yang diketahui, dan alat itu menggunakan hukum kosinus untuk mencari sisi dan sudut yang tinggal, menunjukkan setiap penggantian di sepanjang jalan.
Hukum kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras kepada mana-mana segi tiga, bukan hanya segi tiga tegak, itulah sebabnya ia adalah alat pilihan apabila masalah segi tiga tidak termasuk sudut 90 darjah yang mudah digunakan.
Mengaplikasikan hukum kosinus
Hukum kosinus mengaitkan satu sisi segitiga dengan dua sisi yang lain dan sudut di antaranya.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Di sini, C ialah sudut bertentangan sisi c. Versi yang disusun semula bagi hubungan yang sama menyelesaikan mana-mana sisi menggunakan sudut bertentangan dengannya dan dua sisi yang lain.
Selesaikan segitiga daripada tiga sisi (SSS)
Apabila ketiga-tiga sisi diketahui, hukum kosinus menyusun semula untuk menyelesaikan setiap sudut mengikut giliran.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Contoh kerja: segi tiga dengan sisi a = 5, b = 7, c = 8. Cari sudut A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0.7857, jadi A = cos⁻¹(0.7857) ≈ 38.2°.
Baki dua sudut mengikut kaedah yang sama, atau laluan yang lebih pantas setelah satu sudut diketahui: gunakan hukum sinus untuk sudut kedua, kemudian tolak kedua-duanya daripada 180° untuk yang ketiga.
Selesaikan segitiga dari dua sisi dan sudut disertakan (SAS)
Apabila dua sisi dan sudut di antaranya diketahui, hukum kosinus mencari sisi ketiga secara langsung. Contoh kerja: segi tiga dengan a = 6, b = 9, dan termasuk sudut C = 45°. 1. Gantikan ke dalam formula. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0.7071 ≈ 117 − 76.37 ≈ 40.63.
3. Take the square root. c ≈ √40.63 ≈ 6.37.
Dengan sisi ketiga ditemui, baki dua sudut kemudiannya boleh didapati menggunakan hukum sinus, kerana pasangan sudut sisi penuh (sisi c bertentangan sudut C) kini tersedia.
Kenal pasti apabila hukum kosinus diperlukan
Hukum kosinus diperlukan khusus untuk kes SSS (tiga sisi, tiada sudut) dan SAS (dua sisi dan sudut yang disertakan), kerana hukum sinus tidak boleh bermula tanpa sekurang-kurangnya satu sudut yang diketahui dipasangkan dengan sisi bertentangannya.
Sebaik sahaja hukum kosinus menghasilkan pasangan sisi sudut pertama itu, hukum sinus boleh menyelesaikan pengiraan yang tinggal dengan lebih langsung.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dua sisi dan sudut yang disertakan | law of cosines, then law of sines |
Semak keputusan dengan kes khas Pythagoras
Apabila sudut yang disertakan dalam masalah SAS ialah tepat 90°, cos(90°) = 0, dan hukum kosinus berkurangan tepat kepada teorem Pythagoras: c² = a² + b². Ini adalah pemeriksaan kewarasan yang berguna, mengesahkan bahawa hukum kosinus ialah generalisasi tulen dan bukannya formula yang tidak berkaitan yang berlaku untuk menyelesaikan masalah yang serupa.
Selesaikan sudut kedua untuk melengkapkan contoh SSS
Meneruskan segi tiga a = 5, b = 7, c = 8 dari atas, sudut B mengikut formula tersusun semula yang sama dengan sisi dilabel semula. 1. Gantikan ke dalam formula yang disusun semula. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0.5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0.5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38.2 − 60 = 81.8° untuk sudut C, menggunakan jumlah sudut yang ditemui daripada nilai A awal pada halaman ini.
Soalan lazim
Apakah hukum formula kosinus?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), dengan C ialah sudut bertentangan sisi c. Ia menyamaratakan teorem Pythagoras kepada segi tiga tanpa sudut tegak.
Bilakah anda menggunakan hukum kosinus dan bukannya hukum sinus?
Gunakan hukum kosinus untuk kes SSS (tiga sisi yang diketahui) atau SAS (dua sisi dan sudut yang disertakan), kerana hukum sinus memerlukan sekurang-kurangnya satu sudut yang dipasangkan dengan sisi bertentangannya untuk bermula.
Bagaimanakah anda mencari sudut menggunakan hukum kosinus?
Susun semula formula untuk menyelesaikan kosinus: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), kemudian ambil kosinus songsang hasilnya untuk mencari sudut A.
Adakah hukum kosinus berfungsi untuk segi tiga tegak juga?
ya. Apabila sudut yang disertakan ialah 90°, cos(90°) = 0 dan formula mengecil tepat kepada teorem Pythagoras, mengesahkannya sebagai generalisasi dan bukannya peraturan yang berasingan.
Bolehkah hukum kosinus mempunyai hasil yang tidak jelas seperti SSA?
Tidak. Tidak seperti undang-undang sinus dalam kes SSA, undang-undang kosinus yang digunakan untuk SSS atau SAS memberikan satu jawapan yang tidak jelas, kerana ia tidak bergantung pada fungsi sinus songsang yang boleh mengembalikan dua sudut yang sah.
Bagaimana jika tiga sisi yang diberikan tidak membentuk segi tiga yang sah?
Jika jumlah dua sisi yang lebih pendek adalah kurang daripada atau sama dengan sisi terpanjang, tiada segi tiga yang sah wujud dan kalkulator akan membenderakan ini dan bukannya mengembalikan sudut yang salah.
Bolehkah saya menggunakan hukum kosinus untuk mencari ketiga-tiga sudut?
ya. Gunakan formula yang disusun semula sekali untuk setiap sudut, atau cari satu sudut dengan cara ini dan gunakan hukum sinus dan jumlah sudut 180 darjah untuk dua yang selebihnya, yang biasanya lebih cepat.
Ringkasan
Hukum kosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), menyelesaikan segi tiga SSS dengan mencari setiap sudut daripada formula kosinus yang disusun semula, dan segitiga SAS dengan mencari sisi ketiga secara langsung, seperti segi tiga dengan sisi 6 dan 9 dan sudut disertakan 45° memberikan sisi ketiga kira-kira 6.37.
Ia menyamaratakan teorem Pythagoras, mengurangkannya tepat apabila sudut yang disertakan ialah 90°, dan memberikan jawapan tunggal yang jelas tidak seperti kes SSA di bawah undang-undang sinus.