Le calculateur de la loi triangulaire des cosinus résout un triangle lorsque trois côtés sont connus (SSS) ou lorsque deux côtés et l'angle qui les sépare sont connus (SAS). Entrez les mesures connues et l'outil applique la loi des cosinus pour trouver les côtés et angles restants, montrant chaque substitution en cours de route.
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à n’importe quel triangle, pas seulement aux triangles rectangles, c’est pourquoi c’est l’outil de choix chaque fois qu’un problème de triangle n’inclut pas un angle de 90 degrés pratique avec lequel travailler.
Appliquer la loi des cosinus
La loi des cosinus relie un côté d’un triangle aux deux autres côtés et à l’angle qui les sépare.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Ici, C est l’angle opposé au côté c. Les versions réarrangées de la même relation sont résolues pour n'importe quel côté en utilisant l'angle opposé et les deux autres côtés.
Résoudre un triangle à trois côtés (SSS)
Lorsque les trois côtés sont connus, la loi des cosinus se réorganise pour résoudre tour à tour chaque angle.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Exemple concret : un triangle avec des côtés a = 5, b = 7, c = 8. Trouvez l'angle A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(UNE) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, donc A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Les deux angles restants suivent la même méthode, ou la voie la plus rapide une fois qu'un angle est connu : utilisez la loi des sinus pour le deuxième angle, puis soustrayez les deux de 180° pour le troisième.
Résoudre un triangle de deux côtés et l'angle inclus (SAS)
Lorsque deux côtés et l’angle qu’ils forment sont connus, la loi des cosinus trouve directement le troisième côté. Exemple concret : un triangle avec a = 6, b = 9 et un angle inclus C = 45°. 1. Remplacez dans la formule. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Une fois le troisième côté trouvé, les deux angles restants peuvent alors être trouvés en utilisant la loi des sinus, puisqu'une paire complète d'angles latéraux (côté c opposé à l'angle C) est désormais disponible.
Reconnaître quand la loi des cosinus est requise
La loi des cosinus est spécifiquement nécessaire pour les cas SSS (trois côtés, pas d'angle) et SAS (deux côtés et leur angle inclus), car la loi des sinus ne peut pas commencer sans au moins un angle connu associé à son côté opposé.
Une fois que la loi des cosinus produit cette première paire angle-côté, la loi des sinus peut terminer les calculs restants plus directement.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | deux côtés et l'angle inclus | law of cosines, then law of sines |
Vérifiez le résultat avec le cas particulier de Pythagore
Lorsque l'angle inclus dans un problème SAS est exactement de 90°, cos(90°) = 0, et la loi des cosinus se réduit exactement au théorème de Pythagore : c² = a² + b². Il s’agit d’une vérification de bon sens utile, confirmant que la loi des cosinus est une véritable généralisation plutôt qu’une formule sans rapport qui résout des problèmes similaires.
Résolvez un deuxième angle pour compléter l'exemple SSS
En continuant le triangle a = 5, b = 7, c = 8 d'en haut, l'angle B suit la même formule réarrangée avec les côtés réétiquetés. 1. Remplacez dans la formule réarrangée. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° pour l'angle C, en utilisant la somme des angles trouvée à partir de la valeur A précédente sur cette page.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la loi des cosinus ?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), où C est l'angle opposé au côté c. Il généralise le théorème de Pythagore aux triangles sans angle droit.
Quand utilise-t-on la loi des cosinus au lieu de la loi des sinus ?
Utilisez la loi des cosinus pour les cas SSS (trois côtés connus) ou SAS (deux côtés et l'angle inclus), car la loi des sinus a besoin d'au moins un angle associé à son côté opposé pour commencer.
Comment trouver un angle en utilisant la loi des cosinus ?
Réorganisez la formule pour résoudre le cosinus : cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), puis prenez le cosinus inverse du résultat pour trouver l'angle A.
La loi des cosinus fonctionne-t-elle également pour les triangles rectangles ?
Oui. Lorsque l'angle inclus est de 90°, cos(90°) = 0 et la formule se réduit exactement au théorème de Pythagore, le confirmant comme une généralisation plutôt qu'une règle distincte.
La loi des cosinus peut-elle avoir un résultat ambigu comme SSA ?
Non. Contrairement à la loi des sinus dans le cas SSA, la loi des cosinus appliquée à SSS ou SAS donne une réponse unique et sans ambiguïté, car elle ne repose pas sur une fonction sinus inverse pouvant renvoyer deux angles valides.
Et si les trois côtés donnés ne forment pas un triangle valide ?
Si la somme des deux côtés les plus courts est inférieure ou égale au côté le plus long, aucun triangle valide n'existe et la calculatrice le signalera plutôt que de renvoyer un angle incorrect.
Puis-je utiliser la loi des cosinus pour trouver les trois angles ?
Oui. Appliquez la formule réarrangée une fois pour chaque angle, ou trouvez un angle de cette façon et utilisez la loi des sinus et la somme des angles de 180 degrés pour les deux autres, ce qui est généralement plus rapide.
Résumé
La loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), résout les triangles SSS en trouvant chaque angle à partir de la formule du cosinus réarrangé, et les triangles SAS en trouvant directement le troisième côté, comme un triangle avec des côtés 6 et 9 et un angle inclus de 45° donnant un troisième côté d'environ 6,37.
Il généralise le théorème de Pythagore, en y réduisant exactement lorsque l'angle inclus est de 90°, et donne une réponse unique et sans ambiguïté contrairement au cas SSA selon la loi des sinus.