Il calcolatore della legge del triangolo del coseno risolve un triangolo quando sono noti tre lati (SSS) o quando sono noti due lati e l'angolo tra loro (SAS). Inserisci le misure conosciute e lo strumento applica la legge del coseno per trovare i lati e gli angoli rimanenti, mostrando ogni sostituzione lungo il percorso.
La legge del coseno generalizza il teorema di Pitagora a qualsiasi triangolo, non solo ai triangoli rettangoli, motivo per cui è lo strumento da scegliere ogni volta che un problema triangolare non include un angolo di 90 gradi conveniente con cui lavorare.
Applicare la legge dei coseni
La legge del coseno mette in relazione un lato di un triangolo con gli altri due lati e con l'angolo formato da essi.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Qui C è l'angolo opposto al lato c. Le versioni riorganizzate della stessa relazione si risolvono per qualsiasi lato utilizzando l'angolo opposto ad esso e gli altri due lati.
Risolvere un triangolo da tre lati (SSS)
Quando tutti e tre i lati sono noti, la legge dei coseni si riorganizza per risolvere a turno ciascun angolo.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Esempio realizzato: un triangolo con i lati a = 5, b = 7, c = 8. Trova l'angolo A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2×7×8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, quindi A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
I restanti due angoli seguono lo stesso metodo, o il percorso più veloce una volta noto un angolo: usa la legge dei seni per il secondo angolo, quindi sottrai entrambi da 180° per il terzo.
Risolvi un triangolo da due lati e dall'angolo compreso (SAS)
Quando si conoscono due lati e l'angolo formato da essi, la legge del coseno trova direttamente il terzo lato. Esempio realizzato: un triangolo con a = 6, b = 9 e angolo compreso C = 45°. 1. Sostituisci nella formula. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 - 108 × 0,7071 ≈ 117 - 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Una volta trovato il terzo lato, i restanti due angoli possono essere trovati utilizzando la legge dei seni, poiché ora è disponibile una coppia completa di angoli laterali (lato c opposto all'angolo C).
Riconoscere quando è necessaria la legge del coseno
La legge dei coseni è necessaria specificamente per i casi SSS (tre lati, senza angoli) e SAS (due lati e il loro angolo incluso), perché la legge dei seni non può iniziare senza almeno un angolo noto accoppiato con il suo lato opposto.
Una volta che la legge dei coseni produce la prima coppia angolo-lato, la legge dei seni può completare i calcoli rimanenti in modo più diretto.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | due lati e l'angolo compreso | law of cosines, then law of sines |
Controlla il risultato con il caso speciale pitagorico
Quando l'angolo incluso in un problema SAS è esattamente 90°, cos(90°) = 0, e la legge dei coseni si riduce esattamente al teorema di Pitagora: c² = a² + b². Si tratta di un utile controllo di integrità, che conferma che la legge dei coseni è una vera generalizzazione piuttosto che una formula non correlata che risolve problemi simili.
Risolvi per un secondo angolo per completare l'esempio SSS
Continuando il triangolo a = 5, b = 7, c = 8 dall'alto, l'angolo B segue la stessa formula riorganizzata con i lati rietichettati. 1. Sostituisci nella formula riorganizzata. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° per l'angolo C, utilizzando la somma dell'angolo trovata dal valore A precedente in questa pagina.
Domande frequenti
Qual è la formula della legge del coseno?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), dove C è l'angolo opposto al lato c. Generalizza il teorema di Pitagora ai triangoli senza angolo retto.
Quando usi la legge dei coseni invece della legge dei seni?
Utilizza la legge dei coseni per i casi SSS (tre lati noti) o SAS (due lati e l'angolo incluso), poiché la legge dei seni necessita di almeno un angolo accoppiato con il suo lato opposto per iniziare.
Come trovi un angolo usando la legge del coseno?
Riorganizza la formula per risolvere il coseno: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), quindi prendi l'inverso del coseno del risultato per trovare l'angolo A.
La legge del coseno vale anche per i triangoli rettangoli?
SÌ. Quando l'angolo compreso è 90°, cos(90°) = 0 e la formula si riduce esattamente al teorema di Pitagora, confermandolo come una generalizzazione piuttosto che come una regola separata.
La legge dei coseni può avere un risultato ambiguo come SSA?
No. A differenza della legge dei seni nel caso SSA, la legge dei coseni applicata a SSS o SAS fornisce una risposta unica e inequivocabile, poiché non si basa su una funzione seno inversa che può restituire due angoli validi.
Cosa succede se i tre lati dati non formano un triangolo valido?
Se la somma dei due lati più corti è inferiore o uguale al lato più lungo, non esiste un triangolo valido e la calcolatrice lo contrassegnerà invece di restituire un angolo errato.
Posso usare la legge del coseno per trovare tutti e tre gli angoli?
SÌ. Applica la formula riorganizzata una volta per ciascun angolo oppure trova un angolo in questo modo e utilizza la legge dei seni e la somma degli angoli di 180 gradi per i restanti due, che in genere è più veloce.
Riepilogo
La legge dei coseni, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), risolve i triangoli SSS trovando ciascun angolo dalla formula del coseno riorganizzata, e i triangoli SAS trovando direttamente il terzo lato, come un triangolo con i lati 6 e 9 e un angolo incluso di 45° che dà un terzo lato di circa 6,37.
Generalizza il teorema di Pitagora, riducendolo esattamente quando l'angolo incluso è 90°, e fornisce un'unica risposta univoca a differenza del caso SSA secondo la legge dei seni.
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