A Calculadora da Lei do Triângulo dos Cossenos resolve um triângulo quando três lados são conhecidos (SSS), ou quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos (SAS). Insira as medidas conhecidas e a ferramenta aplica a lei dos cossenos para encontrar os lados e ângulos restantes, mostrando cada substituição ao longo do caminho.
A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo, não apenas para triângulos retângulos, e é por isso que é a ferramenta de escolha sempre que um problema triangular não inclui um ângulo conveniente de 90 graus para trabalhar.
Aplicar a lei dos cossenos
A lei dos cossenos relaciona um lado de um triângulo com os outros dois lados e o ângulo entre eles.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Aqui, C é o ângulo oposto ao lado c. Versões reorganizadas da mesma relação resolvem qualquer lado usando o ângulo oposto a ele e os outros dois lados.
Resolva um triângulo de três lados (SSS)
Quando todos os três lados são conhecidos, a lei dos cossenos é reorganizada para resolver cada ângulo por vez.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Exemplo resolvido: um triângulo com lados a = 5, b = 7, c = 8. Encontre o ângulo A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, então A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Os dois ângulos restantes seguem o mesmo método, ou o caminho mais rápido, uma vez conhecido um ângulo: use a lei dos senos para o segundo ângulo e subtraia ambos de 180° para o terceiro.
Resolva um triângulo de dois lados e o ângulo incluído (SAS)
Quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos, a lei dos cossenos encontra o terceiro lado diretamente. Exemplo resolvido: um triângulo com a = 6, b = 9 e ângulo incluído C = 45°. 1. Substitua na fórmula. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Com o terceiro lado encontrado, os dois ângulos restantes podem então ser encontrados usando a lei dos senos, uma vez que um par lado-ângulo completo (lado c oposto ao ângulo C) está agora disponível.
Reconhecer quando a lei dos cossenos é necessária
A lei dos cossenos é necessária especificamente para os casos SSS (três lados, sem ângulos) e SAS (dois lados e seus ângulos incluídos), porque a lei dos senos não pode começar sem pelo menos um ângulo conhecido emparelhado com o seu lado oposto.
Uma vez que a lei dos cossenos produz o primeiro par ângulo-lado, a lei dos senos pode finalizar os cálculos restantes de forma mais direta.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dois lados e o ângulo incluído | law of cosines, then law of sines |
Verifique o resultado com o caso especial pitagórico
Quando o ângulo incluído em um problema SAS é exatamente 90°, cos(90°) = 0, e a lei dos cossenos se reduz exatamente ao teorema de Pitágoras: c² = a² + b². Esta é uma verificação de sanidade útil, confirmando que a lei dos cossenos é uma generalização genuína, e não uma fórmula não relacionada que resolve problemas semelhantes.
Resolva um segundo ângulo para completar o exemplo SSS
Continuando o triângulo a = 5, b = 7, c = 8 de cima, o ângulo B segue a mesma fórmula reorganizada com os lados renomeados. 1. Substitua na fórmula reorganizada. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° para o ângulo C, usando a soma dos ângulos encontrada no valor A anterior nesta página.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da lei dos cossenos?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), onde C é o ângulo oposto ao lado c. Ele generaliza o teorema de Pitágoras para triângulos sem ângulo reto.
Quando você usa a lei dos cossenos em vez da lei dos senos?
Use a lei dos cossenos para casos SSS (três lados conhecidos) ou SAS (dois lados e o ângulo incluído), pois a lei dos senos precisa de pelo menos um ângulo emparelhado com seu lado oposto para começar.
Como você encontra um ângulo usando a lei dos cossenos?
Reorganize a fórmula para resolver o cosseno: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), então pegue o cosseno inverso do resultado para encontrar o ângulo A.
A lei dos cossenos também funciona para triângulos retângulos?
Sim. Quando o ângulo incluído é 90°, cos(90°) = 0 e a fórmula se reduz exatamente ao teorema de Pitágoras, confirmando-o como uma generalização e não como uma regra separada.
A lei dos cossenos pode ter um resultado ambíguo como o SSA?
Não. Ao contrário da lei dos senos no caso SSA, a lei dos cossenos aplicada ao SSS ou SAS dá uma resposta única e inequívoca, uma vez que não se baseia numa função seno inversa que pode devolver dois ângulos válidos.
E se os três lados dados não formarem um triângulo válido?
Se a soma dos dois lados mais curtos for menor ou igual ao lado mais longo, não existe nenhum triângulo válido e a calculadora sinalizará isso em vez de retornar um ângulo incorreto.
Posso usar a lei dos cossenos para encontrar os três ângulos?
Sim. Aplique a fórmula reorganizada uma vez para cada ângulo ou encontre um ângulo desta forma e use a lei dos senos e a soma dos ângulos de 180 graus para os dois restantes, o que normalmente é mais rápido.
Resumo
A lei dos cossenos, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), resolve triângulos SSS encontrando cada ângulo a partir da fórmula dos cossenos reorganizados, e triângulos SAS encontrando o terceiro lado diretamente, como um triângulo com lados 6 e 9 e um ângulo incluído de 45° dando um terceiro lado de cerca de 6,37.
Ele generaliza o teorema de Pitágoras, reduzindo-o exatamente quando o ângulo incluído é 90°, e dá uma resposta única e inequívoca, ao contrário do caso SSA sob a lei dos senos.