A Calculadora da Lei do Triângulo dos Senos resolve um triângulo quando dois ângulos e um lado são conhecidos (ASA ou AAS), ou quando dois lados e um ângulo não incluído são conhecidos (SSA). Insira as medidas conhecidas e a ferramenta aplica a lei dos senos para encontrar os lados e ângulos restantes, sinalizando o caso ambíguo quando ele surgir.
A lei dos senos relaciona cada lado de um triângulo ao seno do ângulo diretamente oposto a ele, o que o torna o método direto sempre que um ângulo conhecido e seu lado oposto aparecem juntos em um problema.
Aplicar a lei dos senos
Cada lado de um triângulo dividido pelo seno do seu ângulo oposto dá a mesma proporção em todo o triângulo.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Conhecer um par completo de ângulos laterais define essa proporção para todo o triângulo. Qualquer outro ângulo conhecido fornece diretamente o seu lado oposto e vice-versa.
Resolva um triângulo a partir de dois ângulos e um lado (ASA ou AAS)
Quando dois ângulos são conhecidos, o terceiro segue imediatamente da soma dos ângulos, uma vez que todos os três ângulos internos de qualquer triângulo totalizam 180 graus. A lei dos senos encontra então os dois lados restantes. Exemplo resolvido: um triângulo com A = 50°, B = 60° e lado a = 10 (ângulo oposto A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sen(A) = 10 / sen(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sen(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × sen(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Este método é direto e fornece uma resposta única e inequívoca sempre que o par conhecido inclui um lado e seu ângulo oposto.
Resolva o caso ambíguo do SSA
Quando dois lados e um ângulo que não existe entre eles são conhecidos, a lei dos senos pode produzir dois triângulos válidos diferentes, uma resposta ou nenhum triângulo válido, dependendo de como os números se comparam. Isso é chamado de caso ambíguo.
Exemplo resolvido: lado a = 8, lado b = 10 e ângulo A = 40° (lado oposto a, não entre os dois lados dados).
1. Set up the ratio to find angle B. sen(B) = b × sen(A) / a = 10 × sen(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° ou, como o seno é positivo tanto no primeiro quanto no segundo quadrante, B também poderia ser 180 - 53,4 = 126,6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Se B = 53,4°, então C = 180 − 40 − 53,4 = 86,6°, um triângulo válido. Se B = 126,6°, então C = 180 − 40 − 126,6 = 13,4°, o que ainda é positivo e também válido.
Ambos os triângulos são soluções legítimas para as mesmas três medidas dadas, e é exatamente por isso que este caso é chamado de ambíguo: a informação dada por si só não define um único triângulo.
Saiba quando o SSA não tem solução
Se o valor calculado de sin(B) no processo acima exceder 1, não existe nenhum ângulo real, o que significa que nenhum triângulo pode ser formado a partir das medidas fornecidas. Isso acontece quando o lado oposto ao ângulo conhecido é muito curto em relação ao outro lado para contornar e fechar o triângulo.
Reconhecer quais casos a lei dos senos resolve diretamente
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | dois ângulos, o lado entre eles | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA e AAS sempre resolvem exatamente um triângulo, pois conhecer dois ângulos fixa o terceiro imediatamente e não deixa espaço para uma segunda interpretação. SSA é a única combinação que precisa da verificação extra descrita acima.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da lei dos senos?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), onde cada lado é dividido pelo seno do ângulo diretamente oposto a ele e todas as três proporções são iguais dentro de um triângulo.
Por que o SSA é chamado de caso ambíguo?
Porque conhecer dois lados e um ângulo não incluído pode produzir dois triângulos válidos diferentes, uma vez que a função seno inversa tem dois ângulos possíveis (um agudo e um obtuso) que compartilham o mesmo valor de seno.
Como saber se o SSA tem zero, uma ou duas soluções?
Calcule sin(B) usando a lei da razão dos senos. Se exceder 1, não há solução. Se for exatamente 1, existe exatamente uma solução para o triângulo retângulo. Caso contrário, verifique se as opções de ângulo agudo e obtuso mantêm todos os três ângulos positivos; se ambos o fizerem, existem duas soluções.
Quando devo usar a lei dos senos em vez da lei dos cossenos?
Use a lei dos senos sempre que um ângulo conhecido e seu lado oposto aparecerem juntos nas informações fornecidas, que abrangem ASA, AAS e SSA. Use a lei dos cossenos para SSS e SAS.
O ASA e o AAS alguma vez tiveram um resultado ambíguo?
Não. Uma vez conhecidos dois ângulos, o terceiro é fixado imediatamente pela soma dos ângulos de 180 graus, não deixando ambiguidade em nenhum dos casos.
A lei dos senos pode encontrar a área de um triângulo?
Não diretamente, mas uma vez que todos os três lados ou dois lados e o ângulo incluído sejam conhecidos a partir de uma solução da lei dos senos, as fórmulas de área padrão, incluindo ½ab·sin(C), podem ser aplicadas.
E se o meu triângulo SSA tiver apenas uma solução válida em vez de duas?
Isso acontece quando apenas um dos dois ângulos candidatos (do resultado do seno inverso agudo ou obtuso) mantém a soma dos três ângulos internos menor que 180° com todos os valores positivos; o outro candidato é descartado como geometricamente inválido.
Resumo
A lei dos senos, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), resolve triângulos ASA e AAS diretamente e sem ambiguidade, como encontrar lados de cerca de 11,30 e 12,26 a partir de ângulos de 50°, 60° e um lado de 10.
O caso SSA é diferente: pode produzir zero, um ou dois triângulos válidos, uma vez que a função seno inversa retorna um ângulo candidato agudo e um ângulo obtuso que deve ser verificado em relação à soma dos ângulos de 180 graus.