La Calculadora de la ley de los senos del triángulo resuelve un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado (ASA o AAS), o cuando se conocen dos lados y un ángulo no incluido (SSA). Ingrese las medidas conocidas y la herramienta aplicará la ley de los senos para encontrar los lados y ángulos restantes, señalando el caso ambiguo cuando surja.
La ley de los senos relaciona cada lado de un triángulo con el seno del ángulo directamente opuesto a él, lo que lo convierte en el método directo siempre que un ángulo conocido y su lado opuesto aparecen juntos en un problema.
Aplicar la ley de los senos
Cada lado de un triángulo dividido por el seno de su ángulo opuesto da la misma proporción en todo el triángulo.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Conocer un par de ángulos laterales completo establece esa proporción para todo el triángulo. Cualquier otro ángulo conocido da directamente su lado opuesto y viceversa.
Resolver un triángulo desde dos ángulos y un lado (ASA o AAS)
Cuando se conocen dos ángulos, el tercero se sigue inmediatamente de la suma de los ángulos, ya que los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180 grados. Luego, la ley de los senos encuentra los dos lados restantes. Ejemplo resuelto: un triángulo con A = 50°, B = 60° y lado a = 10 (ángulo opuesto A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sen(A) = 10 / sen(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sen(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × pecado(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Este método es directo y da una respuesta única e inequívoca siempre que el par conocido incluya tanto un lado como su ángulo opuesto.
Resuelva el ambiguo caso de la SSA
Cuando se conocen dos lados y un ángulo que no está entre ellos, la ley de los senos puede producir dos triángulos válidos diferentes, una respuesta o ningún triángulo válido, dependiendo de cómo se comparen los números. A esto se le llama caso ambiguo.
Ejemplo resuelto: lado a = 8, lado b = 10 y ángulo A = 40° (lado opuesto a, no entre los dos lados dados).
1. Set up the ratio to find angle B. pecado(B) = b × pecado(A) / a = 10 × pecado(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° o, dado que el seno es positivo tanto en el primer como en el segundo cuadrante, B también podría ser 180 − 53,4 = 126,6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Si B = 53,4°, entonces C = 180 − 40 − 53,4 = 86,6°, un triángulo válido. Si B = 126,6°, entonces C = 180 − 40 − 126,6 = 13,4°, lo cual sigue siendo positivo y también válido.
Ambos triángulos son soluciones legítimas para las mismas tres medidas dadas, razón por la cual este caso se llama ambiguo: la información dada por sí sola no identifica un solo triángulo.
Sepa cuando la SSA no tiene solución
Si el valor calculado de sin(B) en el proceso anterior excede 1, no existe ningún ángulo real, lo que significa que no se puede formar ningún triángulo a partir de las medidas dadas. Esto sucede cuando el lado opuesto al ángulo conocido es demasiado corto en relación con el otro lado dado para rodear y cerrar el triángulo.
Reconocer qué casos resuelve directamente la ley de los senos
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| asa | dos ángulos, el lado entre ellos | respuesta única |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA y AAS siempre resuelven exactamente un triángulo, ya que conocer dos ángulos fija el tercero inmediatamente y no deja lugar para una segunda interpretación. SSA es la única combinación que necesita la verificación adicional descrita anteriormente.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la ley de los senos?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), donde cada lado se divide por el seno del ángulo directamente opuesto y las tres razones son iguales dentro de un triángulo.
¿Por qué se llama a la SSA el caso ambiguo?
Porque conocer dos lados y un ángulo no incluido puede producir dos triángulos válidos diferentes, ya que la función seno inversa tiene dos ángulos posibles (uno agudo, otro obtuso) que comparten el mismo valor del seno.
¿Cómo saber si SSA tiene cero, una o dos soluciones?
Calcula el pecado (B) usando la ley de la razón de los senos. Si supera 1, no hay solución. Si es exactamente 1, hay exactamente una solución de triángulo rectángulo. De lo contrario, compruebe si las opciones de ángulo agudo y obtuso mantienen los tres ángulos positivos; si ambos lo hacen, hay dos soluciones.
¿Cuándo debo utilizar la ley de los senos en lugar de la ley de los cosenos?
Utilice la ley de los senos siempre que un ángulo conocido y su lado opuesto aparezcan juntos en la información proporcionada, que cubre ASA, AAS y SSA. Utilice en su lugar la ley de los cosenos para SSS y SAS.
¿ASA y AAS alguna vez tienen un resultado ambiguo?
No. Una vez que se conocen dos ángulos, el tercero se fija inmediatamente mediante la suma de los ángulos de 180 grados, sin dejar ambigüedad en ninguno de los casos.
¿Puede la ley de los senos encontrar el área de un triángulo?
No directamente, pero una vez que se conocen los tres lados o dos lados y el ángulo incluido a partir de una solución de la ley de los senos, se pueden aplicar las fórmulas de área estándar, incluido ½ab·sin(C).
¿Qué pasa si mi triángulo SSA sólo tiene una solución válida en lugar de dos?
Esto sucede cuando solo uno de los dos ángulos candidatos (del resultado del seno inverso agudo u obtuso) mantiene la suma de los tres ángulos interiores en menos de 180° con todos los valores positivos; el otro candidato se descarta por ser geométricamente inválido.
Resumen
La ley de los senos, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), resuelve triángulos ASA y AAS directamente y sin ambigüedad, como encontrar lados de aproximadamente 11,30 y 12,26 desde ángulos de 50°, 60° y un lado de 10.
El caso SSA es diferente: puede producir cero, uno o dos triángulos válidos, ya que la función seno inversa devuelve un ángulo candidato agudo y obtuso que debe compararse con la suma de los ángulos de 180 grados.