Der Dreiecks-Sinus-Rechner löst ein Dreieck, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind (ASA oder AAS) oder wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind (SSA). Geben Sie die bekannten Maße ein, und das Tool wendet das Sinusgesetz an, um die verbleibenden Seiten und Winkel zu ermitteln, und markiert den mehrdeutigen Fall, wenn er auftritt.
Das Sinusgesetz bezieht jede Seite eines Dreiecks auf den Sinus des ihm direkt gegenüberliegenden Winkels und ist daher die direkte Methode, wenn ein bekannter Winkel und seine gegenüberliegende Seite in einem Problem zusammen auftreten.
Wenden Sie das Sinusgesetz an
Jede Seite eines Dreiecks geteilt durch den Sinus seines entgegengesetzten Winkels ergibt im gesamten Dreieck das gleiche Verhältnis.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Die Kenntnis eines vollständigen Seitenwinkelpaares legt dieses Verhältnis für das gesamte Dreieck fest. Jeder andere bekannte Winkel gibt dann direkt seine Gegenseite an und umgekehrt.
Lösen Sie ein Dreieck aus zwei Winkeln und einer Seite (ASA oder AAS)
Wenn zwei Winkel bekannt sind, folgt der dritte sofort aus der Winkelsumme, da alle drei Innenwinkel eines Dreiecks insgesamt 180 Grad betragen. Der Sinussatz findet dann die beiden verbleibenden Seiten. Arbeitsbeispiel: ein Dreieck mit A = 50°, B = 60° und Seite a = 10 (entgegengesetzter Winkel A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sin(A) = 10 / sin(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sin(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × sin(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Diese Methode ist direkt und liefert immer dann eine einzige, eindeutige Antwort, wenn das bekannte Paar sowohl eine Seite als auch den entgegengesetzten Winkel enthält.
Lösen Sie den unklaren SSA-Fall
Wenn zwei Seiten und ein Winkel zwischen ihnen bekannt sind, kann das Sinusgesetz zwei verschiedene gültige Dreiecke, eine Antwort oder überhaupt kein gültiges Dreieck erzeugen, je nachdem, wie die Zahlen verglichen werden. Dies wird als mehrdeutiger Fall bezeichnet.
Arbeitsbeispiel: Seite a = 8, Seite b = 10 und Winkel A = 40° (gegenüberliegende Seite a, nicht zwischen den beiden angegebenen Seiten).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A) / a = 10 × sin(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° oder, da der Sinus sowohl im ersten als auch im zweiten Quadranten positiv ist, könnte B auch 180 − 53,4 = 126,6° sein.
3. Check both possibilities against the angle sum. Wenn B = 53,4°, dann ist C = 180 − 40 − 53,4 = 86,6°, ein gültiges Dreieck. Wenn B = 126,6°, dann ist C = 180 − 40 − 126,6 = 13,4°, was immer noch positiv und auch gültig ist.
Beide Dreiecke sind legitime Lösungen für dieselben drei gegebenen Maße, weshalb dieser Fall genau deshalb als mehrdeutig bezeichnet wird: Die gegebene Information allein lässt kein einzelnes Dreieck zuordnen.
Wissen Sie, wann SSA keine Lösung hat
Wenn der berechnete Wert von sin(B) im obigen Prozess 1 überschreitet, existiert kein realer Winkel, was bedeutet, dass aus den gegebenen Messungen überhaupt kein Dreieck gebildet werden kann. Dies geschieht, wenn die dem bekannten Winkel gegenüberliegende Seite im Vergleich zur anderen gegebenen Seite zu kurz ist, um das Dreieck zu umrunden und zu schließen.
Erkennen Sie, welche Fälle das Sinusgesetz direkt löst
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | zwei Winkel, die Seite dazwischen | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA und AAS lösen sich immer in genau ein Dreieck auf, da die Kenntnis zweier Winkel den dritten sofort fixiert und keinen Raum für eine zweite Interpretation lässt. SSA ist die einzige Kombination, die die oben beschriebene zusätzliche Prüfung erfordert.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel des Sinusgesetzes?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), wobei jede Seite durch den Sinus des ihr direkt gegenüberliegenden Winkels geteilt wird und alle drei Verhältnisse innerhalb eines Dreiecks gleich sind.
Warum wird SSA als mehrdeutiger Fall bezeichnet?
Weil die Kenntnis zweier Seiten und eines nicht eingeschlossenen Winkels zwei verschiedene gültige Dreiecke erzeugen kann, da die Umkehrsinusfunktion zwei mögliche Winkel (einen spitzen und einen stumpfen) hat, die denselben Sinuswert haben.
Woher wissen Sie, ob SSA null, eine oder zwei Lösungen hat?
Berechnen Sie sin(B) mithilfe des Sinusverhältnisgesetzes. Wenn es 1 überschreitet, gibt es keine Lösung. Wenn genau 1, gibt es genau eine rechtwinklige Dreieckslösung. Überprüfen Sie andernfalls, ob sowohl die Optionen für spitze als auch stumpfe Winkel alle drei Winkel positiv halten. Wenn beides der Fall ist, gibt es zwei Lösungen.
Wann sollte ich das Sinusgesetz anstelle des Kosinusgesetzes verwenden?
Verwenden Sie das Sinusgesetz immer dann, wenn ein bekannter Winkel und seine Gegenseite in den gegebenen Informationen, die ASA, AAS und SSA umfassen, zusammen vorkommen. Verwenden Sie stattdessen das Kosinusgesetz für SSS und SAS.
Haben ASA und AAS jemals ein mehrdeutiges Ergebnis?
Nein. Sobald zwei Winkel bekannt sind, wird der dritte sofort durch die 180-Grad-Winkelsumme festgelegt, sodass in beiden Fällen keine Mehrdeutigkeit besteht.
Kann das Sinusgesetz die Fläche eines Dreiecks ermitteln?
Nicht direkt, aber sobald alle drei Seiten oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel aus einer Lösung des Sinusgesetzes bekannt sind, können die Standardflächenformeln, einschließlich ½ab·sin(C), angewendet werden.
Was passiert, wenn mein SSA-Dreieck nur eine gültige Lösung statt zwei hat?
Dies geschieht, wenn nur einer der beiden Kandidatenwinkel (aus dem Ergebnis des spitzen oder stumpfen Umkehrsinus) die Summe der drei Innenwinkel mit allen positiven Werten auf weniger als 180° hält; der andere Kandidat wird als geometrisch ungültig verworfen.
Zusammenfassung
Das Sinusgesetz, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), löst ASA- und AAS-Dreiecke direkt und ohne Mehrdeutigkeit, indem beispielsweise Seiten von etwa 11,30 und 12,26 aus Winkeln von 50°, 60° und einer Seite von 10 ermittelt werden.
Der SSA-Fall ist anders: Er kann null, ein oder zwei gültige Dreiecke ergeben, da die Umkehrsinusfunktion sowohl einen spitzen als auch einen stumpfen Kandidatenwinkel zurückgibt, die jeweils gegen die 180-Grad-Winkelsumme überprüft werden müssen.