حاسبة قانون الجيب

تعمل حاسبة قانون المثلثات على حل المثلث عندما تكون الزاويتان والضلع معروفين (ASA أو AAS)، أو عندما يكون الضلعان والزاوية غير المتضمنة معروفين (SSA). أدخل القياسات المعروفة، وتقوم الأداة بتطبيق قانون الجيب للعثور على الجوانب والزوايا المتبقية، مع الإشارة إلى الحالة الغامضة عند ظهورها.

قانون الجيب يربط كل ضلع من أضلاع المثلث بجيب الزاوية المقابلة له مباشرة، مما يجعله الطريقة المباشرة عندما تظهر زاوية معلومة والضلع المقابل لها معًا في مسألة.

تطبيق قانون الجيب

كل ضلع في المثلث مقسومًا على جيب الزاوية المقابلة له يعطي نفس النسبة عبر المثلث بأكمله.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

إن معرفة زوج واحد من الزوايا الكاملة يحدد هذه النسبة للمثلث بأكمله. أي زاوية معلومة أخرى تعطي الضلع المقابل لها مباشرة، والعكس صحيح.

حل مثلث من زاويتين وضلع (ASA أو AAS)

عندما نعرف زاويتين، فإن الثالثة تتبع مباشرة مجموع الزوايا، حيث أن مجموع الزوايا الثلاث الداخلية لأي مثلث يبلغ مجموعها 180 درجة. ثم يجد قانون الجيب الجانبين المتبقيين. مثال عملي: مثلث قياسه A = 50°، B = 60°، وضلعه a = 10 (الزاوية المقابلة A).

1. Find the third angle. ج = 180 − 50 − 60 = 70°.

2. Set up the ratio using the known pair. أ / الخطيئة(أ) = 10 / الخطيئة(50°) ≈ 10 / 0.766 ≈ 13.05.

3. Find side b. ب = 13.05 × جا(60°) ≈ 13.05 × 0.866 ≈ 11.30.

4. Find side c. ج = 13.05 × جا(70°) ≈ 13.05 × 0.940 ≈ 12.26.

هذه الطريقة مباشرة وتعطي إجابة واحدة لا لبس فيها عندما يتضمن الزوج المعروف ضلعًا وزاوية مقابلة له.

حل قضية SSA الغامضة

عندما نعرف ضلعين وزاوية غير بينهما، فإن قانون الجيب يمكن أن ينتج مثلثين صحيحين مختلفين، أو إجابة واحدة، أو لا يوجد مثلث صحيح على الإطلاق، اعتمادًا على كيفية مقارنة الأرقام. وهذا ما يسمى حالة غامضة.

مثال عملي: الضلع أ = 8، والضلع ب = 10، والزاوية أ = 40 درجة (الضلع المقابل أ، وليس بين الجانبين المحددين).

1. Set up the ratio to find angle B. الخطيئة(ب) = ب × الخطيئة(أ) / أ = 10 × الخطيئة(40°) / 8 ≈ 10 × 0.643 / 8 ≈ 0.803.

2. Take the inverse sine. B ≈ 53.4° أو بما أن جيب الزاوية موجب في الربعين الأول والثاني، يمكن أن تكون B أيضًا 180 − 53.4 = 126.6°.

3. Check both possibilities against the angle sum. إذا كانت B = 53.4°، فإن C = 180 − 40 − 53.4 = 86.6°، مثلث صالح. إذا كانت B = 126.6°، فإن C = 180 − 40 − 126.6 = 13.4°، والتي لا تزال موجبة وصالحة أيضًا.

يعد كلا المثلثين حلين مشروعين لنفس القياسات الثلاثة المعطاة، وهذا هو بالضبط سبب تسمية هذه الحالة بالغموض: فالمعلومات المقدمة وحدها لا تحدد مثلثًا واحدًا.

اعرف متى لا يكون لدى SSA حل

إذا كانت القيمة المحسوبة لـ sin(B) في العملية أعلاه تتجاوز 1، فلا توجد زاوية حقيقية، مما يعني أنه لا يمكن تشكيل مثلث من القياسات المعطاة على الإطلاق. يحدث هذا عندما يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة قصيرًا جدًا بالنسبة إلى الضلع المعطى الآخر بحيث لا يمكنه الالتفاف حول المثلث وإغلاقه.

التعرف على الحالات التي يحلها قانون الجيب مباشرة

Case	You know	Result
ASA	زاويتان، الضلع بينهما	single answer
AAS	two angles, a side not between them	single answer
SSA	two sides, an angle not between them	zero, one, or two answers

ASA وAAS يتجهان دائمًا إلى مثلث واحد بالضبط، نظرًا لأن معرفة زاويتين تثبت الثالثة على الفور ولا تترك مجالًا لتفسير ثانٍ. SSA هي المجموعة الوحيدة التي تحتاج إلى الفحص الإضافي الموضح أعلاه.

الأسئلة الشائعة

ملخص

قانون الجيب، a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)، يحل مثلثات ASA وAAS بشكل مباشر وبدون غموض، مثل العثور على أضلاع حوالي 11.30 و12.26 من زوايا 50°، 60° وضلع 10.

حالة SSA مختلفة: يمكن أن تنتج صفرًا أو واحدًا أو اثنين من المثلثات الصحيحة، نظرًا لأن دالة الجيب العكسية تُرجع كلاً من الزاوية المرشحة الحادة والمنفرجة التي يجب التحقق منها مقابل مجموع زاوية 180 درجة.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

حاسبة المثلث · قانون المثلث حاسبة جيب التمام · حاسبة المثلث الأيمن