Калькулятор закона синусов треугольника решает треугольник, когда известны два угла и сторона (ASA или AAS) или когда известны две стороны и невключенный угол (SSA). Введите известные размеры, и инструмент применит закон синусов для нахождения оставшихся сторон и углов, отмечая неоднозначный случай, когда он возникает.
Закон синусов связывает каждую сторону треугольника с синусом угла, прямо противоположного ей, что делает его прямым методом всякий раз, когда известный угол и его противоположная сторона встречаются в задаче вместе.
Применить закон синусов
Каждая сторона треугольника, разделенная синусом противоположного ей угла, дает одинаковое соотношение по всему треугольнику.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Знание одной полной пары боковых углов устанавливает это соотношение для всего треугольника. Тогда любой другой известный угол прямо указывает на противоположную сторону, и наоборот.
Решить треугольник по двум углам и стороне (ASA или AAS)
Когда известны два угла, третий следует сразу из суммы углов, так как все три внутренних угла любого треугольника в сумме составляют 180 градусов. Затем закон синусов находит две оставшиеся стороны. Рабочий пример: треугольник с углами A = 50°, B = 60° и стороной a = 10 (противоположный угол A).
1. Find the third angle. С = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. а/sin(A) = 10/sin(50°) ≈ 10/0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. б = 13,05 × sin(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. в = 13,05 × sin(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Этот метод является прямым и дает единственный однозначный ответ всякий раз, когда известная пара включает в себя как сторону, так и противоположный ей угол.
Решите неоднозначный случай SSA
Когда известны две стороны и угол, не расположенный между ними, закон синусов может дать два разных действительных треугольника, один ответ или вообще не иметь действительного треугольника, в зависимости от того, как сравниваются числа. Это называется неоднозначным случаем.
Рабочий пример: сторона a = 8, сторона b = 10 и угол A = 40° (противоположная сторона a, а не между двумя заданными сторонами).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A)/a = 10 × sin(40°)/8 ≈ 10 × 0,643/8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4 ° или, поскольку синус положителен как в первом, так и во втором квадранте, B также может составлять 180,53,4 = 126,6 °.
3. Check both possibilities against the angle sum. Если B = 53,4°, то C = 180,40,53,4 = 86,6°, правильный треугольник. Если B = 126,6°, то C = 180,40,126,6 = 13,4°, что по-прежнему положительно и также справедливо.
Оба треугольника являются законными решениями одних и тех же трех данных измерений, и именно поэтому этот случай называется неоднозначным: сама по себе данная информация не определяет ни одного треугольника.
Узнайте, когда у SSA нет решения
Если вычисленное значение sin(B) в описанном выше процессе превышает 1, реального угла не существует, а это означает, что на основе данных измерений вообще невозможно сформировать треугольник. Это происходит, когда сторона, противоположная известному углу, слишком коротка по отношению к другой стороне, чтобы ее можно было обойти и замкнуть треугольник.
Узнайте, какие случаи решает закон синусов напрямую
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | два угла, сторона между ними | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA и AAS всегда разрешаются ровно в один треугольник, поскольку знание двух углов немедленно фиксирует третий и не оставляет места для второй интерпретации. SSA, это единственная комбинация, которая требует дополнительной проверки, описанной выше.
Часто задаваемые вопросы
Какова формула закона синусов?
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где каждая сторона делится на синус угла, прямо противоположного ей, и все три отношения равны в пределах одного треугольника.
Почему SSA называют неоднозначным случаем?
Потому что знание двух сторон и невключенного угла может дать два разных действительных треугольника, поскольку функция обратного синуса имеет два возможных угла (один острый, другой тупой), которые имеют одно и то же значение синуса.
Как узнать, имеет ли SSA ноль, одно или два решения?
Вычислите sin(B), используя закон соотношения синусов. Если оно превышает 1, решения нет. Если ровно 1, существует ровно одно прямоугольное решение. В противном случае проверьте, сохраняют ли оба варианта острого и тупого угла все три угла положительными; если оба так, есть два решения.
Когда мне следует использовать закон синусов вместо закона косинусов?
Используйте закон синусов всякий раз, когда известный угол и его противоположная сторона встречаются вместе в данной информации, которая охватывает ASA, AAS и SSA. Вместо этого используйте закон косинусов для SSS и SAS.
Дают ли когда-нибудь ASA и AAS неоднозначный результат?
Нет. Как только известны два угла, третий немедленно фиксируется по сумме углов 180 градусов, что в любом случае не оставляет двусмысленности.
Можно ли по закону синусов найти площадь треугольника?
Не напрямую, но как только все три стороны или две стороны и прилежащий угол известны из решения закона синусов, можно применить стандартные формулы площади, включая ½ab·sin(C).
Что, если мой треугольник SSA имеет только одно правильное решение вместо двух?
Это происходит, когда только один из двух возможных углов (из результата острого или тупого обратного синуса) сохраняет сумму трех внутренних углов менее 180 ° при всех положительных значениях; другой кандидат отбрасывается как геометрически недействительный.
Кратко
Закон синусов a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) решает треугольники ASA и AAS напрямую и без двусмысленности, например, нахождение сторон примерно 11,30 и 12,26 из углов 50°, 60° и стороны 10.
Случай SSA отличается: он может дать ноль, один или два допустимых треугольника, поскольку функция обратного синуса возвращает как острый, так и тупой возможный угол, каждый из которых должен быть проверен по сумме углов 180 градусов.
Сопутствующие калькуляторы
Калькулятор треугольника · Калькулятор косинусов треугольника · Калькулятор прямоугольного треугольника