Kalkulator twierdzenia sinusów trójkąta rozwiązuje trójkąt, gdy znane są dwa kąty i bok (ASA lub AAS) lub gdy znane są dwa boki i kąt nieuwzględniony (SSA). Wprowadź znane wymiary, a narzędzie zastosuje twierdzenie sinusów do znalezienia pozostałych boków i kątów, sygnalizując niejednoznaczny przypadek, gdy się pojawi.
Prawo sinusów wiąże każdy bok trójkąta z sinusem kąta znajdującego się bezpośrednio naprzeciw niego, co sprawia, że jest to metoda bezpośrednia, gdy w zadaniu występuje razem znany kąt i jego przeciwny bok.
Zastosuj twierdzenie sinusów
Każdy bok trójkąta podzielony przez sinus przeciwległego kąta daje ten sam stosunek w całym trójkącie.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Znajomość jednej pełnej pary kątów bocznych ustala ten stosunek dla całego trójkąta. Każdy inny znany kąt daje wówczas bezpośrednio jego przeciwną stronę i odwrotnie.
Rozwiąż trójkąt z dwóch kątów i boku (ASA lub AAS)
Gdy znane są dwa kąty, trzeci wynika bezpośrednio z sumy kątów, ponieważ suma wszystkich trzech kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Następnie twierdzenie sinusów znajduje dwie pozostałe strony. Przykład praktyczny: trójkąt o kątach A = 50°, B = 60° i boku a = 10 (kąt przeciwny A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sin(A) = 10 / sin(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sin(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × sin(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Metoda ta jest bezpośrednia i daje jedną, jednoznaczną odpowiedź, gdy znana para zawiera zarówno bok, jak i jego przeciwny kąt.
Rozwiąż niejednoznaczny przypadek SSA
Kiedy znane są dwa boki i kąt, który nie jest między nimi, zasada sinusów może dać dwa różne ważne trójkąty, jedną odpowiedź lub w ogóle żaden ważny trójkąt, w zależności od porównania liczb. Nazywa się to przypadkiem niejednoznacznym.
Przykład praktyczny: bok a = 8, bok b = 10 i kąt A = 40° (strona przeciwna a, a nie pomiędzy dwoma podanymi bokami).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A) / a = 10 × sin(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° lub ponieważ sinus jest dodatni zarówno w pierwszej, jak i drugiej ćwiartce, B może również wynosić 180 - 53,4 = 126,6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Jeśli B = 53,4°, to C = 180 - 40 - 53,4 = 86,6°, ważny trójkąt. Jeśli B = 126,6°, to C = 180 - 40 - 126,6 = 13,4°, co jest nadal wartością dodatnią i również obowiązującą.
Obydwa trójkąty są poprawnymi rozwiązaniami tych samych trzech podanych wymiarów i właśnie dlatego ten przypadek nazywa się niejednoznacznym: sama podana informacja nie określa pojedynczego trójkąta.
Wiedz, kiedy SSA nie ma rozwiązania
Jeśli obliczona w powyższym procesie wartość sin(B) przekracza 1, nie istnieje żaden kąt rzeczywisty, co oznacza, że z podanych pomiarów w ogóle nie można utworzyć trójkąta. Dzieje się tak, gdy bok leżący naprzeciw znanego kąta jest zbyt krótki w stosunku do drugiego podanego boku, aby objąć i zamknąć trójkąt.
Rozpoznaj, które przypadki twierdzenie sinusów rozwiązuje bezpośrednio
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | dwa kąty, strona między nimi | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA i AAS zawsze ustalają dokładnie jeden trójkąt, ponieważ znajomość dwóch kątów natychmiast ustala trzeci i nie pozostawia miejsca na drugą interpretację. SSA to jedyna kombinacja, która wymaga dodatkowej kontroli opisanej powyżej.
Najczęściej zadawane pytania
Jaki jest wzór na twierdzenie sinusów?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), gdzie każdy bok jest podzielony przez sinus kąta znajdującego się naprzeciwko niego, a wszystkie trzy stosunki w jednym trójkącie są równe.
Dlaczego SSA nazywa się przypadkiem niejednoznacznym?
Ponieważ znajomość dwóch boków i kąta niezawartego może dać dwa różne ważne trójkąty, ponieważ odwrotna funkcja sinus ma dwa możliwe kąty (jeden ostry, jeden rozwarty), które mają tę samą wartość sinusoidalną.
Skąd wiesz, czy SSA ma zero, jedno czy dwa rozwiązania?
Oblicz sin(B) korzystając z zasady stosunku sinusów. Jeśli przekracza 1, nie ma rozwiązania. Jeśli dokładnie 1, istnieje dokładnie jedno rozwiązanie trójkąta prostokątnego. W przeciwnym razie sprawdź, czy zarówno opcje kąta ostrego, jak i rozwartego utrzymują wszystkie trzy kąty dodatnie; jeśli oba tak, istnieją dwa rozwiązania.
Kiedy powinienem używać twierdzenia sinusów zamiast twierdzenia cosinusów?
Skorzystaj z twierdzenia sinusów, gdy w podanych informacjach znany kąt i jego przeciwna strona występują razem, co obejmuje ASA, AAS i SSA. Zamiast tego użyj prawa cosinusów dla SSS i SAS.
Czy ASA i AAS kiedykolwiek dają niejednoznaczny wynik?
Nie. Gdy znane są dwa kąty, trzeci jest natychmiast ustalany na podstawie sumy kątów wynoszącej 180 stopni, nie pozostawiając żadnej dwuznaczności w żadnym przypadku.
Czy twierdzenie sinusów może obliczyć pole trójkąta?
Nie bezpośrednio, ale gdy znane są wszystkie trzy boki lub dwa boki i kąt zawarty w twierdzeniu sinusów, można zastosować standardowe wzory na pole powierzchni, włączając ½ab·sin(C).
Co się stanie, jeśli mój trójkąt SSA ma tylko jedno prawidłowe rozwiązanie zamiast dwóch?
Dzieje się tak, gdy tylko jeden z dwóch kątów kandydujących (z wyniku odwrotnego sinusa ostrego lub rozwartego) utrzymuje sumę trzech kątów wewnętrznych mniejszą niż 180 ° przy wszystkich wartościach dodatnich; drugi kandydat jest odrzucany jako nieważny geometrycznie.
Podsumowanie
Prawo sinusów a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) rozwiązuje trójkąty ASA i AAS bezpośrednio i bez dwuznaczności, na przykład znajdując boki około 11,30 i 12,26 pod kątami 50°, 60° i bok 10.
Przypadek SSA jest inny: może dać zero, jeden lub dwa ważne trójkąty, ponieważ odwrotna funkcja sinus zwraca zarówno ostry, jak i rozwarty kąt kandydujący, z których każdy należy porównać z sumą kątów 180 stopni.