Triangle Law of Sines Calculator löser en triangel när två vinklar och en sida är kända (ASA eller AAS), eller när två sidor och en icke-inkluderad vinkel är kända (SSA). Ange de kända måtten, och verktyget tillämpar sinuslagen för att hitta de återstående sidorna och vinklarna och flaggar det tvetydiga fallet när det uppstår.
Sinuslagen relaterar varje sida av en triangel till sinus i vinkeln mittemot den, vilket gör den till den direkta metoden när en känd vinkel och dess motsatta sida visas tillsammans i ett problem.
Tillämpa sinuslagen
Varje sida av en triangel dividerad med sinus i dess motsatta vinkel ger samma förhållande över hela triangeln.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Att känna till ett helt sidovinkelpar sätter det förhållandet för hela triangeln. Varje annan känd vinkel ger då sin motsatta sida direkt, och vice versa.
Lös en triangel från två vinklar och en sida (ASA eller AAS)
När två vinklar är kända, följer den tredje omedelbart av vinkelsumman, eftersom alla tre inre vinklar i en triangel totalt är 180 grader. Sinuslagen hittar sedan de två återstående sidorna. Arbetat exempel: en triangel med A = 50°, B = 60° och sidan a = 10 (motsatt vinkel A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sin(A) = 10 / sin(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sin(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × sin(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Denna metod är direkt och ger ett enda, entydigt svar närhelst det kända paret inkluderar både en sida och dess motsatta vinkel.
Lös det tvetydiga SSA-fallet
När två sidor och en vinkel som inte är mellan dem är känd, kan sinuslagen producera två olika giltiga trianglar, ett svar eller ingen giltig triangel alls, beroende på hur talen jämförs. Detta kallas det tvetydiga fallet.
Arbetat exempel: sida a = 8, sida b = 10, och vinkel A = 40° (motsatt sida a, inte mellan de två givna sidorna).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A) / a = 10 × sin(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° eller, eftersom sinus är positivt i både den första och andra kvadranten, kan B också vara 180 − 53,4 = 126,6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Om B = 53,4°, då C = 180 − 40 − 53,4 = 86,6°, en giltig triangel. Om B = 126,6° så är C = 180 − 40 − 126,6 = 13,4°, vilket fortfarande är positivt och även giltigt.
Båda trianglarna är legitima lösningar på samma tre givna mått, vilket är exakt varför detta fall kallas tvetydigt: den givna informationen ensam fastställer inte en enda triangel.
Vet när SSA inte har någon lösning
Om det beräknade värdet på sin(B) i processen ovan överstiger 1, existerar ingen reell vinkel, vilket betyder att ingen triangel kan bildas från de givna måtten alls. Detta händer när sidan mitt emot den kända vinkeln är för kort i förhållande till den andra givna sidan för att nå runt och stänga triangeln.
Inse vilka fall sinuslagen löser direkt
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | två vinklar, sidan mellan dem | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA och AAS löser sig alltid till exakt en triangel, eftersom att känna till två vinklar fixar den tredje omedelbart och lämnar inget utrymme för en andra tolkning. SSA är den kombination som behöver den extra kontroll som beskrivs ovan.
Vanliga frågor
Vad är sinuslagens formel?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), där varje sida är dividerad med sinus för vinkeln mittemot den, och alla tre förhållandena är lika inom en triangel.
Varför kallas SSA för det tvetydiga fallet?
Eftersom att känna till två sidor och en icke-inkluderad vinkel kan producera två olika giltiga trianglar, eftersom den inversa sinusfunktionen har två möjliga vinklar (en spetsig, en trubbig) som delar samma sinusvärde.
Hur vet du om SSA har noll, en eller två lösningar?
Beräkna sin(B) med hjälp av sinusförhållandet. Om det överstiger 1 finns det ingen lösning. Om exakt 1 finns det exakt en rätvinklig lösning. Kontrollera annars om alternativen för både spets och trubbig vinkel håller alla tre vinklarna positiva; om båda gör det finns det två lösningar.
När ska jag använda sinuslagen istället för cosinuslagen?
Använd sinuslagen när en känd vinkel och dess motsatta sida visas tillsammans i den givna informationen, som täcker ASA, AAS och SSA. Använd cosinuslagen för SSS och SAS istället.
Har ASA och AAS någonsin ett tvetydigt resultat?
Nej. När två vinklar är kända, fixeras den tredje omedelbart av 180-graders vinkelsumman, vilket inte lämnar någon tvetydighet i båda fallen.
Kan sinuslagen hitta en triangels area?
Inte direkt, men när alla tre sidor eller två sidor och den ingående vinkeln är kända från en sinuslösning, kan standardareaformlerna, inklusive ½ab·sin(C), tillämpas.
Vad händer om min SSA-triangel bara har en giltig lösning istället för två?
Detta händer när endast en av de två kandidatvinklarna (från det spetsiga eller trubbiga inversa sinusresultatet) håller de tre inre vinklarna summerande till mindre än 180° med alla positiva värden; den andra kandidaten förkastas som geometriskt ogiltig.
Sammanfattning
Sinuslagen, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), löser ASA- och AAS-trianglar direkt och utan tvetydighet, som att hitta sidor på cirka 11,30 och 12,26 från vinklarna 50°, 60° och en sida på 10.
SSA-fallet är annorlunda: det kan ge noll, en eller två giltiga trianglar, eftersom den inversa sinusfunktionen returnerar både en spetsig och en trubbig kandidatvinkel som var och en måste kontrolleras mot 180-graders vinkelsumman.
Relaterade miniräknare
Triangelkalkylator · Triangellag av Cosinus Miniräknare · Rätt triangelkalkylator