Il calcolatore della legge dei seni del triangolo risolve un triangolo quando sono noti due angoli e un lato (ASA o AAS) o quando sono noti due lati e un angolo non compreso (SSA). Inserisci le misure note e lo strumento applica la legge dei seni per trovare i lati e gli angoli rimanenti, segnalando il caso ambiguo quando si presenta.
La legge dei seni mette in relazione ogni lato di un triangolo con il seno dell'angolo direttamente opposto ad esso, il che lo rende il metodo diretto ogni volta che un angolo noto e il suo lato opposto compaiono insieme in un problema.
Applicare la legge dei seni
Ogni lato di un triangolo diviso per il seno del suo angolo opposto dà lo stesso rapporto in tutto il triangolo.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Conoscere una coppia completa di angoli laterali imposta quel rapporto per l'intero triangolo. Qualsiasi altro angolo noto dà quindi direttamente il suo lato opposto e viceversa.
Risolvi un triangolo da due angoli e un lato (ASA o AAS)
Quando si conoscono due angoli, il terzo segue immediatamente dalla somma degli angoli, poiché tutti e tre gli angoli interni di qualsiasi triangolo misurano in totale 180 gradi. La legge dei seni trova quindi i due lati rimanenti. Esempio realizzato: un triangolo con A = 50°, B = 60° e lato a = 10 (angolo opposto A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sin(A) = 10 / sin(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sin(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × sin(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Questo metodo è diretto e fornisce una risposta unica e inequivocabile ogni volta che la coppia conosciuta comprende sia un lato che il suo angolo opposto.
Risolvi l'ambiguo caso SSA
Quando si conoscono due lati e un angolo non compreso tra di essi, la legge dei seni può produrre due diversi triangoli validi, una risposta o nessun triangolo valido, a seconda di come si confrontano i numeri. Questo è chiamato il caso ambiguo.
Esempio lavorato: lato a = 8, lato b = 10 e angolo A = 40° (lato opposto a, non tra i due lati indicati).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A) / a = 10 × sin(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° oppure, poiché il seno è positivo sia nel primo che nel secondo quadrante, B potrebbe anche essere 180 − 53,4 = 126,6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Se B = 53,4°, allora C = 180 − 40 − 53,4 = 86,6°, un triangolo valido. Se B = 126,6°, allora C = 180 − 40 − 126,6 = 13,4°, che è ancora positivo e anche valido.
Entrambi i triangoli sono soluzioni legittime delle stesse tre misurazioni date, motivo per cui questo caso è chiamato ambiguo: le informazioni fornite da sole non definiscono un singolo triangolo.
Scopri quando la SSA non ha una soluzione
Se il valore calcolato di sin(B) nel processo precedente supera 1, non esiste alcun angolo reale, il che significa che non può essere formato alcun triangolo dalle misurazioni fornite. Ciò accade quando il lato opposto all'angolo noto è troppo corto rispetto all'altro lato dato per raggiungere e chiudere il triangolo.
Riconoscere quali casi la legge dei seni risolve direttamente
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | due angoli, il lato compreso tra loro | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA e AAS si risolvono sempre esattamente in un triangolo, poiché conoscere due angoli fissa immediatamente il terzo e non lascia spazio a una seconda interpretazione. SSA è l'unica combinazione che necessita del controllo extra descritto sopra.
Domande frequenti
Qual è la formula della legge del seno?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), dove ciascun lato è diviso per il seno dell'angolo direttamente opposto ad esso e tutti e tre i rapporti sono uguali all'interno di un triangolo.
Perché la SSA è definita il caso ambiguo?
Perché conoscere due lati e un angolo non compreso può produrre due diversi triangoli validi, poiché la funzione seno inversa ha due possibili angoli (uno acuto, uno ottuso) che condividono lo stesso valore seno.
Come fai a sapere se SSA ha zero, una o due soluzioni?
Calcola sin(B) utilizzando la legge del rapporto seno. Se supera 1 non c'è soluzione. Se esattamente 1, esiste esattamente una soluzione del triangolo rettangolo. Altrimenti, controlla se entrambe le opzioni dell'angolo acuto e ottuso mantengono tutti e tre gli angoli positivi; se lo fanno entrambi, ci sono due soluzioni.
Quando dovrei usare la legge dei seni invece della legge dei coseni?
Utilizza la legge dei seni ogni volta che un angolo noto e il suo lato opposto compaiono insieme nelle informazioni fornite, che coprono ASA, AAS e SSA. Utilizzare invece la legge dei coseni per SSS e SAS.
ASA e AAS hanno mai un risultato ambiguo?
No. Una volta noti due angoli, il terzo viene fissato immediatamente dalla somma degli angoli di 180 gradi, senza lasciare ambiguità in entrambi i casi.
La legge dei seni può trovare l'area di un triangolo?
Non direttamente, ma una volta che tutti e tre i lati o due lati e l'angolo compreso sono noti da una soluzione della legge dei seni, è possibile applicare le formule standard dell'area, incluso ½ab·sin(C).
Cosa succede se il mio triangolo SSA ha solo una soluzione valida invece di due?
Ciò accade quando solo uno dei due angoli candidati (dal risultato del seno inverso acuto o ottuso) mantiene la somma dei tre angoli interni inferiore a 180° con tutti valori positivi; l'altro candidato viene scartato perché geometricamente non valido.
Riepilogo
La legge dei seni, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), risolve i triangoli ASA e AAS direttamente e senza ambiguità, ad esempio trovando i lati di circa 11,30 e 12,26 da angoli 50°, 60° e un lato di 10.
Il caso SSA è diverso: può produrre zero, uno o due triangoli validi, poiché la funzione seno inversa restituisce sia un angolo candidato acuto che uno ottuso che devono essere confrontati ciascuno con la somma dell'angolo di 180 gradi.
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