Hukum Segitiga Kalkulator Sinus menyelesaikan segitiga apabila dua sudut dan sisi diketahui (ASA atau AAS), atau apabila dua sisi dan sudut tidak termasuk diketahui (SSA). Masukkan ukuran yang diketahui, dan alat itu menggunakan hukum sinus untuk mencari sisi dan sudut yang tinggal, menandakan kes yang tidak jelas apabila ia timbul.
Hukum sinus mengaitkan setiap sisi segitiga dengan sinus sudut yang bertentangan dengannya, yang menjadikannya kaedah langsung apabila sudut yang diketahui dan sisi bertentangannya muncul bersama dalam masalah.
Terapkan hukum sinus
Setiap sisi segitiga dibahagikan dengan sinus sudut bertentangannya memberikan nisbah yang sama merentasi keseluruhan segitiga.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Mengetahui satu pasangan sudut sisi penuh menetapkan nisbah itu untuk keseluruhan segi tiga. Mana-mana sudut lain yang diketahui kemudiannya memberikan sisi bertentangannya secara langsung, dan sebaliknya.
Selesaikan segitiga dari dua sudut dan sisi (ASA atau AAS)
Apabila dua sudut diketahui, yang ketiga mengikuti serta-merta daripada jumlah sudut, kerana ketiga-tiga sudut pedalaman mana-mana segi tiga berjumlah 180 darjah. Hukum sinus kemudiannya mencari dua sisi yang tinggal. Contoh kerja: segitiga dengan A = 50°, B = 60°, dan sisi a = 10 (sudut bertentangan A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. a / sin(A) = 10 / sin(50°) ≈ 10 / 0.766 ≈ 13.05.
3. Find side b. b = 13.05 × sin(60°) ≈ 13.05 × 0.866 ≈ 11.30.
4. Find side c. c = 13.05 × sin(70°) ≈ 13.05 × 0.940 ≈ 12.26.
Kaedah ini adalah langsung dan memberikan satu jawapan yang tidak jelas apabila pasangan yang diketahui termasuk kedua-dua sisi dan sudut bertentangannya.
Selesaikan kes SSA yang samar-samar
Apabila dua sisi dan sudut yang tidak di antara mereka diketahui, hukum sinus boleh menghasilkan dua segi tiga sah yang berbeza, satu jawapan, atau tiada segitiga sah sama sekali, bergantung pada perbandingan nombor. Ini dipanggil kes samar-samar.
Contoh yang dikerjakan: sisi a = 8, sisi b = 10, dan sudut A = 40° (sisi bertentangan a, bukan di antara dua sisi yang diberikan).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A) / a = 10 × sin(40°) / 8 ≈ 10 × 0.643 / 8 ≈ 0.803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53.4° atau, kerana sinus adalah positif dalam kedua-dua kuadran pertama dan kedua, B juga boleh menjadi 180 − 53.4 = 126.6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Jika B = 53.4°, maka C = 180 − 40 − 53.4 = 86.6°, segi tiga yang sah. Jika B = 126.6°, maka C = 180 − 40 − 126.6 = 13.4°, yang masih positif dan juga sah.
Kedua-dua segi tiga adalah penyelesaian yang sah kepada tiga ukuran yang sama, itulah sebabnya kes ini dipanggil samar-samar: maklumat yang diberikan sahaja tidak menyematkan segitiga tunggal.
Ketahui apabila SSA tiada penyelesaian
Jika nilai pengiraan sin(B) dalam proses di atas melebihi 1, tiada sudut nyata wujud, bermakna tiada segitiga boleh dibentuk daripada ukuran yang diberikan sama sekali. Ini berlaku apabila sisi yang bertentangan dengan sudut yang diketahui terlalu pendek berbanding dengan sisi yang lain untuk mencapai sekeliling dan menutup segi tiga.
Kenal pasti kes mana yang diselesaikan secara langsung oleh hukum sinus
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | dua sudut, sisi di antara mereka | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA dan AAS sentiasa menyelesaikan tepat satu segi tiga, kerana mengetahui dua sudut membetulkan yang ketiga serta-merta dan tidak memberi ruang untuk tafsiran kedua. SSA ialah satu kombinasi yang memerlukan pemeriksaan tambahan yang diterangkan di atas.
Soalan lazim
Apakah hukum formula sinus?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), di mana setiap sisi dibahagikan dengan sinus sudut yang bertentangan dengannya, dan ketiga-tiga nisbah adalah sama dalam satu segi tiga.
Mengapa SSA dipanggil kes samar-samar?
Kerana mengetahui dua sisi dan sudut tidak termasuk boleh menghasilkan dua segi tiga sah yang berbeza, kerana fungsi sinus songsang mempunyai dua sudut yang mungkin (satu akut, satu tumpul) yang berkongsi nilai sinus yang sama.
Bagaimanakah anda tahu jika SSA mempunyai sifar, satu atau dua penyelesaian?
Kira sin(B) menggunakan hukum nisbah sinus. Jika melebihi 1, tiada penyelesaian. Jika betul-betul 1, terdapat betul-betul satu penyelesaian segi tiga tepat. Jika tidak, semak sama ada kedua-dua pilihan sudut akut dan tumpul memastikan ketiga-tiga sudut itu positif; jika kedua-duanya berlaku, terdapat dua penyelesaian.
Bilakah saya harus menggunakan hukum sinus dan bukannya hukum kosinus?
Gunakan hukum sinus apabila sudut yang diketahui dan sisi bertentangannya muncul bersama dalam maklumat yang diberikan, yang meliputi ASA, AAS dan SSA. Sebaliknya, gunakan hukum kosinus untuk SSS dan SAS.
Adakah ASA dan AAS pernah mempunyai keputusan yang samar-samar?
Tidak. Apabila dua sudut diketahui, yang ketiga ditetapkan serta-merta dengan jumlah sudut 180 darjah, tidak meninggalkan kesamaran dalam kedua-dua kes.
Bolehkah hukum sinus mencari luas segi tiga?
Tidak secara langsung, tetapi setelah ketiga-tiga sisi atau dua sisi dan sudut yang disertakan diketahui daripada hukum penyelesaian sinus, rumus luas piawai, termasuk ½ab·sin(C), boleh digunakan.
Bagaimana jika segitiga SSA saya hanya mempunyai satu penyelesaian yang sah dan bukannya dua?
Ini berlaku apabila hanya satu daripada dua sudut calon (daripada hasil sinus songsang akut atau tumpul) mengekalkan tiga sudut pedalaman menjumlahkan kepada kurang daripada 180° dengan semua nilai positif; calon lain dibuang sebagai tidak sah dari segi geometri.
Ringkasan
Hukum sinus, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), menyelesaikan segitiga ASA dan AAS secara langsung dan tanpa kesamaran, seperti mencari sisi kira-kira 11.30 dan 12.26 dari sudut 50°, 60° dan sisi 10.
Kes SSA adalah berbeza: ia boleh menghasilkan sifar, satu atau dua segi tiga yang sah, kerana fungsi sinus songsang mengembalikan kedua-dua sudut calon akut dan tumpul yang setiap satunya mesti diperiksa terhadap jumlah sudut 180 darjah.