Le calculateur de la loi triangulaire des sinus résout un triangle lorsque deux angles et un côté sont connus (ASA ou AAS), ou lorsque deux côtés et un angle non inclus sont connus (SSA). Entrez les mesures connues et l'outil applique la loi des sinus pour trouver les côtés et angles restants, signalant le cas ambigu lorsqu'il se présente.
La loi des sinus relie chaque côté d'un triangle au sinus de l'angle directement opposé, ce qui en fait la méthode directe chaque fois qu'un angle connu et son côté opposé apparaissent ensemble dans un problème.
Appliquer la loi des sinus
Chaque côté d'un triangle divisé par le sinus de son angle opposé donne le même rapport sur tout le triangle.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Connaître une paire complète d'angles latéraux définit ce rapport pour l'ensemble du triangle. Tout autre angle connu donne alors directement son côté opposé, et vice versa.
Résoudre un triangle sous deux angles et un côté (ASA ou AAS)
Lorsque deux angles sont connus, le troisième découle immédiatement de la somme des angles, puisque les trois angles intérieurs d’un triangle totalisent 180 degrés. La loi des sinus trouve alors les deux côtés restants. Exemple concret : un triangle avec A = 50°, B = 60° et côté a = 10 (angle opposé A).
1. Find the third angle. C = 180 − 50 − 60 = 70°.
2. Set up the ratio using the known pair. une / péché(A) = 10 / péché(50°) ≈ 10 / 0,766 ≈ 13,05.
3. Find side b. b = 13,05 × sin(60°) ≈ 13,05 × 0,866 ≈ 11,30.
4. Find side c. c = 13,05 × sin(70°) ≈ 13,05 × 0,940 ≈ 12,26.
Cette méthode est directe et donne une réponse unique et sans ambiguïté chaque fois que la paire connue comprend à la fois un côté et son angle opposé.
Résoudre le cas ambigu de la SSA
Lorsque deux côtés et un angle qui ne les sépare pas sont connus, la loi des sinus peut produire deux triangles valides différents, une réponse, ou aucun triangle valide du tout, selon la façon dont les nombres se comparent. C'est ce qu'on appelle le cas ambigu.
Exemple concret : côté a = 8, côté b = 10 et angle A = 40° (côté opposé a, pas entre les deux côtés donnés).
1. Set up the ratio to find angle B. sin(B) = b × sin(A) / a = 10 × sin(40°) / 8 ≈ 10 × 0,643 / 8 ≈ 0,803.
2. Take the inverse sine. B ≈ 53,4° ou, puisque le sinus est positif dans le premier et le deuxième quadrant, B pourrait également être 180 − 53,4 = 126,6°.
3. Check both possibilities against the angle sum. Si B = 53,4°, alors C = 180 − 40 − 53,4 = 86,6°, un triangle valide. Si B = 126,6°, alors C = 180 − 40 − 126,6 = 13,4°, ce qui est toujours positif et également valable.
Les deux triangles sont des solutions légitimes aux trois mêmes mesures données, c'est exactement pourquoi ce cas est qualifié d'ambigu : les informations données à elles seules ne permettent pas de cerner un seul triangle.
Sachez quand SSA n’a pas de solution
Si la valeur calculée de sin(B) dans le processus ci-dessus dépasse 1, aucun angle réel n'existe, ce qui signifie qu'aucun triangle ne peut être formé à partir des mesures données. Cela se produit lorsque le côté opposé à l’angle connu est trop court par rapport à l’autre côté donné pour contourner et fermer le triangle.
Reconnaître les cas que la loi des sinus résout directement
| Case | You know | Result |
|---|---|---|
| ASA | deux angles, le côté entre eux | single answer |
| AAS | two angles, a side not between them | single answer |
| SSA | two sides, an angle not between them | zero, one, or two answers |
ASA et AAS résolvent toujours exactement un triangle, puisque la connaissance de deux angles fixe immédiatement le troisième et ne laisse aucune place à une seconde interprétation. SSA est la seule combinaison qui nécessite la vérification supplémentaire décrite ci-dessus.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la loi des sinus ?
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), où chaque côté est divisé par le sinus de l'angle directement opposé, et les trois rapports sont égaux dans un triangle.
Pourquoi le SSA est-il appelé le cas ambigu ?
Parce que connaître deux côtés et un angle non inclus peut produire deux triangles valides différents, puisque la fonction sinus inverse a deux angles possibles (un aigu, un obtus) qui partagent la même valeur sinusoïdale.
Comment savoir si SSA a zéro, une ou deux solutions ?
Calculez sin(B) en utilisant la loi du rapport des sinus. S’il dépasse 1, il n’y a pas de solution. Si exactement 1, il existe exactement une solution du triangle rectangle. Sinon, vérifiez si les options d’angle aigu et obtus maintiennent les trois angles positifs ; si les deux le font, il existe deux solutions.
Quand dois-je utiliser la loi des sinus au lieu de la loi des cosinus ?
Utilisez la loi des sinus chaque fois qu'un angle connu et son côté opposé apparaissent ensemble dans les informations fournies, qui couvrent l'ASA, l'AAS et le SSA. Utilisez plutôt la loi des cosinus pour SSS et SAS.
ASA et AAS ont-ils parfois un résultat ambigu ?
Non. Une fois que deux angles sont connus, le troisième est immédiatement fixé par la somme des angles de 180 degrés, ne laissant aucune ambiguïté dans les deux cas.
La loi des sinus peut-elle trouver l’aire d’un triangle ?
Pas directement, mais une fois que les trois côtés ou les deux côtés et l'angle inclus sont connus à partir d'une solution de la loi des sinus, les formules d'aire standard, y compris ½ab·sin(C), peuvent être appliquées.
Que se passe-t-il si mon triangle SSA n'a qu'une seule solution valide au lieu de deux ?
Cela se produit lorsqu'un seul des deux angles candidats (du résultat du sinus inverse aigu ou obtus) maintient la somme des trois angles intérieurs à moins de 180° avec toutes les valeurs positives ; l'autre candidat est écarté car géométriquement invalide.
Résumé
La loi des sinus, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), résout les triangles ASA et AAS directement et sans ambiguïté, par exemple en trouvant des côtés d'environ 11,30 et 12,26 à partir d'angles 50°, 60° et un côté de 10.
Le cas SSA est différent : il peut donner zéro, un ou deux triangles valides, puisque la fonction sinusoïdale inverse renvoie à la fois un angle candidat aigu et un angle candidat obtus qui doivent chacun être vérifiés par rapport à la somme des angles de 180 degrés.