Triangle Law of Cosines Calculator löser en triangel när tre sidor är kända (SSS), eller när två sidor och vinkeln mellan dem är kända (SAS). Ange de kända måtten, och verktyget tillämpar cosinuslagen för att hitta de återstående sidorna och vinklarna, och visar varje substitution längs vägen.
Cosinuslagen generaliserar Pythagoras sats till vilken triangel som helst, inte bara till räta trianglar, vilket är anledningen till att det är det bästa verktyget när ett triangelproblem inte innehåller en bekväm 90-graders vinkel att arbeta med.
Tillämpa cosinuslagen
Cosinuslagen relaterar en sida av en triangel till de andra två sidorna och vinkeln mellan dem.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Här är C vinkeln på motsatt sida c. Omarrangerade versioner av samma relation löser vilken sida som helst med hjälp av vinkeln mittemot den och de andra två sidorna.
Lös en triangel från tre sidor (SSS)
När alla tre sidorna är kända, arrangeras cosinuslagen om för att lösa varje vinkel i tur och ordning.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Bearbetat exempel: en triangel med sidorna a = 5, b = 7, c = 8. Hitta vinkel A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, så A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
De återstående två vinklarna följer samma metod, eller den snabbare vägen när en vinkel är känd: använd sinuslagen för den andra vinkeln, subtrahera sedan båda från 180° för den tredje.
Lös en triangel från två sidor och den inkluderade vinkeln (SAS)
När två sidor och vinkeln mellan dem är känd, finner cosinuslagen den tredje sidan direkt. Bearbetat exempel: en triangel med a = 6, b = 9, och inkluderad vinkel C = 45°. 1. Ersätt i formeln. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Med den tredje sidan hittad kan de återstående två vinklarna sedan hittas med hjälp av sinuslagen, eftersom ett helt sidovinkelpar (sidan c motsatt vinkel C) nu är tillgängligt.
Inse när cosinuslagen krävs
Cosinuslagen behövs specifikt för SSS (tre sidor, inga vinklar) och SAS (två sidor och deras inkluderade vinkel), eftersom sinuslagen inte kan starta utan minst en känd vinkel parad med dess motsatta sida.
När cosinuslagen producerar det första vinkel-sideparet, kan sinuslagen avsluta de återstående beräkningarna mer direkt.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | två sidor och den medföljande vinkeln | law of cosines, then law of sines |
Kontrollera resultatet med det pythagoriska specialfallet
När den inkluderade vinkeln i ett SAS-problem är exakt 90°, cos(90°) = 0, och cosinuslagen reduceras exakt till Pythagoras sats: c² = a² + b². Detta är en användbar förnuftskontroll som bekräftar att cosinuslagen är en äkta generalisering snarare än en orelaterade formel som råkar lösa liknande problem.
Lös för en andra vinkel för att slutföra SSS-exemplet
Fortsätter triangeln a = 5, b = 7, c = 8 ovanifrån, vinkel B följer samma omarrangerade formel med sidorna ommärkta. 1. Ersätt i den omarrangerade formeln. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻1(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° för vinkel C, med hjälp av vinkelsumman från det tidigare A-värdet på denna sida.
Vanliga frågor
Vad är formeln för cosinuslagen?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), där C är vinkeln på motsatt sida c. Den generaliserar Pythagoras sats till trianglar utan rät vinkel.
När använder man cosinuslagen istället för sinuslagen?
Använd cosinuslagen för SSS (tre kända sidor) eller SAS (två sidor och den inkluderade vinkeln), eftersom sinuslagen behöver minst en vinkel parad med dess motsatta sida för att börja.
Hur hittar man en vinkel med hjälp av cosinuslagen?
Ordna om formeln för att lösa för cosinus: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), ta sedan den inversa cosinus av resultatet för att hitta vinkeln A.
Fungerar cosinuslagen även för räta trianglar?
Ja. När den inkluderade vinkeln är 90°, cos(90°) = 0 och formeln reduceras exakt till Pythagoras sats, vilket bekräftar det som en generalisering snarare än en separat regel.
Kan cosinuslagen få ett tvetydigt resultat som SSA?
Nej. Till skillnad från sinuslagen i SSA-fallet ger cosinuslagen som tillämpas på SSS eller SAS ett enda, entydigt svar, eftersom den inte förlitar sig på en invers sinusfunktion som kan returnera två giltiga vinklar.
Vad händer om de tre givna sidorna inte bildar en giltig triangel?
Om summan av de två kortare sidorna är mindre än eller lika med den längsta sidan, finns det ingen giltig triangel, och räknaren kommer att flagga detta istället för att returnera en felaktig vinkel.
Kan jag använda cosinuslagen för att hitta alla tre vinklarna?
Ja. Tillämpa den omarrangerade formeln en gång för varje vinkel, eller hitta en vinkel på detta sätt och använd sinuslagen och 180-gradersvinkelsumman för de återstående två, vilket vanligtvis är snabbare.
Sammanfattning
Cosinuslagen, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), löser SSS-trianglar genom att hitta varje vinkel från den omarrangerade cosinusformeln, och SAS-trianglar genom att hitta den tredje sidan direkt, till exempel en triangel med sidorna 6 och 9 och en 45° inkluderad vinkel som ger en tredje sida på cirka 6,37.
Den generaliserar Pythagoras sats, reducerar till den exakt när den inkluderade vinkeln är 90°, och ger ett entydigt entydigt svar till skillnad från SSA-fallet enligt sinuslagen.
Relaterade miniräknare
Triangelkalkylator · Triangellag av sinuskalkylator · Rätt triangelkalkylator