Kosinüs Hesaplayıcısının Üçgen Yasası, üç kenar bilindiğinde (SSS) veya iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde (SAS) bir üçgeni çözer. Bilinen ölçümleri girdiğinizde araç, kalan kenarları ve açıları bulmak için kosinüs yasasını uygulayarak yol boyunca her değişikliği gösterir.
Kosinüs kanunu, Pisagor teoremini sadece dik üçgenlere değil her üçgene genelleştirir; bu nedenle, bir üçgen probleminde çalışmak için uygun bir 90 derecelik açı bulunmadığında tercih edilen araçtır.
Kosinüs yasasını uygulayın
Kosinüs kanunu, bir üçgenin bir kenarını diğer iki kenarla ve aralarındaki açıyla ilişkilendirir.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Burada C, c kenarının karşısındaki açıdır. Aynı ilişkinin yeniden düzenlenmiş versiyonları herhangi bir taraf için karşıt açıyı ve diğer iki tarafı kullanarak çözüm sağlar.
Üç tarafı olan bir üçgeni çözün (SSS)
Her üç kenar da bilindiğinde, kosinüs kanunu her açıyı çözecek şekilde yeniden düzenlenir.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Çözümlü örnek: kenarları a = 5, b = 7, c = 8 olan bir üçgen. A açısını bulun.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64−25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, yani A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Geriye kalan iki açı aynı yöntemi veya bir açı bilindiğinde daha hızlı olan rotayı takip eder: ikinci açı için sinüs yasasını kullanın, ardından üçüncü açı için her ikisini de 180°'den çıkarın.
İki kenardan bir üçgeni ve dahil edilen açıyı (SAS) çözün
İki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde kosinüs kanunu doğrudan üçüncü tarafı bulur. Çözümlü örnek: a = 6, b = 9 ve iç açısı C = 45° olan bir üçgen. 1. Formülde yerine koyun. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Üçüncü kenar bulunduğunda, kalan iki açı sinüs kanunu kullanılarak bulunabilir, çünkü artık tam bir yan açı çifti (c tarafı, C açısının karşısında) mevcuttur.
Kosinüs kanununun ne zaman gerekli olduğunu anlayın
Kosinüs yasası özellikle SSS (üç kenar, açı yok) ve SAS (iki kenar ve bunların dahil olduğu açı) durumları için gereklidir, çünkü sinüs yasası karşı tarafla eşleştirilmiş en az bir bilinen açı olmadan başlayamaz.
Kosinüs kanunu ilk açı-yan çiftini ürettiğinde, sinüs kanunu geri kalan hesaplamaları daha doğrudan tamamlayabilir.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | iki kenar ve dahil edilen açı | law of cosines, then law of sines |
Sonucu Pisagor özel durumuyla kontrol edin
Bir SAS problemindeki açı tam olarak 90° olduğunda, cos(90°) = 0 olur ve kosinüs yasası tam olarak Pisagor teoremine indirgenir: c² = a² + b². Bu, kosinüs yasasının benzer sorunları çözen alakasız bir formülden ziyade gerçek bir genelleme olduğunu doğrulayan yararlı bir akıl sağlığı kontrolüdür.
SSS örneğini tamamlamak için ikinci açıyı bulun
Yukarıdan a = 5, b = 7, c = 8 üçgenine devam edilirse, B açısı, kenarları yeniden etiketlenmiş olarak aynı yeniden düzenlenmiş formülü takip eder. 1. Yeniden düzenlenmiş formülde yerine koyun. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. Bu sayfada daha önceki A değerinden bulunan açı toplamı kullanılarak, C açısı için 180 − 38,2 − 60 = 81,8°.
Sıkça sorulan sorular
Kosinüs formülünün kanunu nedir?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), burada C, c tarafının karşısındaki açıdır. Pisagor teoremini dik açısı olmayan üçgenlere genelleştirir.
Sinüs kanunu yerine kosinüs kanununu ne zaman kullanırsınız?
SSS (bilinen üç kenar) veya SAS (iki kenar ve dahil edilen açı) durumları için kosinüs yasasını kullanın, çünkü sinüs yasasının başlaması için karşı tarafla eşleştirilmiş en az bir açıya ihtiyaç vardır.
Kosinüs yasasını kullanarak bir açıyı nasıl bulursunuz?
Kosinüsü bulmak için formülü yeniden düzenleyin: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), ardından A açısını bulmak için sonucun ters kosinüsünü alın.
Kosinüs kanunu dik üçgenler için de geçerli midir?
Evet. İç açı 90° olduğunda cos(90°) = 0 olur ve formül tam olarak Pisagor teoremine indirgenir ve bunu ayrı bir kuraldan ziyade bir genelleme olarak doğrular.
Kosinüs yasasının SSA gibi belirsiz bir sonucu olabilir mi?
Hayır. SSA durumundaki sinüs kanununun aksine, SSS veya SAS'a uygulanan kosinüs kanunu, iki geçerli açıyı döndürebilen bir ters sinüs fonksiyonuna dayanmadığı için tek ve net bir cevap verir.
Ya verilen üç kenar geçerli bir üçgen oluşturmuyorsa?
İki kısa kenarın toplamı en uzun kenardan küçükse veya ona eşitse geçerli bir üçgen mevcut değildir ve hesap makinesi yanlış bir açı döndürmek yerine bunu işaretleyecektir.
Üç açının tamamını bulmak için kosinüs yasasını kullanabilir miyim?
Evet. Yeniden düzenlenmiş formülü her açı için bir kez uygulayın veya bu şekilde bir açı bulun ve geri kalan ikisi için sinüs yasasını ve 180 derecelik açı toplamını kullanın; bu genellikle daha hızlıdır.
Özet
Kosinüs yasası, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), SSS üçgenlerini yeniden düzenlenmiş kosinüs formülünden her bir açıyı bularak çözer ve SAS üçgenlerini, kenarları 6 ve 9 olan bir üçgen ve yaklaşık 6,37'lik bir üçüncü kenar veren 45°'lik bir iç açı gibi üçüncü kenarı doğrudan bularak çözer.
Pisagor teoremini genelleştirir, tam olarak iç açı 90° olduğunda ona indirger ve sinüs kanunu kapsamındaki SSA durumundan farklı olarak kesin ve tek bir cevap verir.
İlgili hesap makineleri
Üçgen Hesaplayıcı · Üçgen Sinüs Yasası Hesaplayıcı · Dik Üçgen Hesaplayıcı