La Calculadora de la ley de los cosenos del triángulo resuelve un triángulo cuando se conocen tres lados (SSS), o cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (SAS). Ingrese las medidas conocidas y la herramienta aplicará la ley de los cosenos para encontrar los lados y ángulos restantes, mostrando cada sustitución a lo largo del camino.
La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo, no sólo a los triángulos rectángulos, por lo que es la herramienta elegida cuando un problema de triángulos no incluye un ángulo conveniente de 90 grados con el que trabajar.
Aplicar la ley de los cosenos
La ley de los cosenos relaciona un lado de un triángulo con los otros dos lados y el ángulo entre ellos.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Aquí, C es el ángulo opuesto al lado c. Las versiones reordenadas de la misma relación resuelven cualquier lado usando el ángulo opuesto y los otros dos lados.
Resolver un triángulo desde tres lados (SSS)
Cuando se conocen los tres lados, la ley de los cosenos se reorganiza para resolver cada ángulo por turno.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Ejemplo resuelto: un triángulo con lados a = 5, b = 7, c = 8. Encuentra el ángulo A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 - 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, entonces A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Los dos ángulos restantes siguen el mismo método, o la ruta más rápida una vez que se conoce un ángulo: usa la ley de los senos para el segundo ángulo, luego resta ambos de 180° para el tercero.
Resolver un triángulo a partir de dos lados y el ángulo incluido (SAS)
Cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, la ley de los cosenos encuentra el tercer lado directamente. Ejemplo resuelto: un triángulo con a = 6, b = 9 y un ángulo incluido C = 45°. 1. Sustituir en la fórmula. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Una vez encontrado el tercer lado, los dos ángulos restantes se pueden encontrar usando la ley de los senos, ya que ahora está disponible un par de ángulos laterales completos (lado c opuesto al ángulo C).
Reconocer cuando se requiere la ley de los cosenos
La ley de los cosenos es necesaria específicamente para los casos SSS (tres lados, sin ángulos) y SAS (dos lados y su ángulo incluido), porque la ley de los senos no puede comenzar sin al menos un ángulo conocido emparejado con su lado opuesto.
Una vez que la ley de los cosenos produce ese primer par de ángulo-lado, la ley de los senos puede finalizar los cálculos restantes de manera más directa.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dos lados y el ángulo incluido | ley de los cosenos, luego ley de los senos |
Comprueba el resultado con el caso especial pitagórico
Cuando el ángulo incluido en un problema SAS es exactamente 90°, cos(90°) = 0, y la ley de los cosenos se reduce exactamente al teorema de Pitágoras: c² = a² + b². Esta es una prueba de cordura útil, que confirma que la ley de los cosenos es una generalización genuina y no una fórmula no relacionada que resuelve problemas similares.
Resuelva para un segundo ángulo para completar el ejemplo SSS
Continuando con el triángulo a = 5, b = 7, c = 8 desde arriba, el ángulo B sigue la misma fórmula reorganizada con los lados reetiquetados. 1. Sustituir en la fórmula reordenada. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° para el ángulo C, usando la suma de ángulos encontrada a partir del valor A anterior en esta página.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la ley de los cosenos?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), donde C es el ángulo opuesto al lado c. Generaliza el teorema de Pitágoras a triángulos sin ángulo recto.
¿Cuándo se utiliza la ley de los cosenos en lugar de la ley de los senos?
Utilice la ley de los cosenos para los casos SSS (tres lados conocidos) o SAS (dos lados y el ángulo incluido), ya que la ley de los senos necesita al menos un ángulo emparejado con su lado opuesto para comenzar.
¿Cómo se encuentra un ángulo usando la ley de los cosenos?
Reorganiza la fórmula para resolver el coseno: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), luego toma el coseno inverso del resultado para encontrar el ángulo A.
¿La ley de los cosenos también funciona para triángulos rectángulos?
Sí. Cuando el ángulo incluido es de 90°, cos(90°) = 0 y la fórmula se reduce exactamente al teorema de Pitágoras, lo que lo confirma como una generalización en lugar de una regla separada.
¿Puede la ley de los cosenos tener un resultado ambiguo como SSA?
No. A diferencia de la ley de los senos en el caso SSA, la ley de los cosenos aplicada a SSS o SAS da una respuesta única e inequívoca, ya que no se basa en una función seno inversa que puede devolver dos ángulos válidos.
¿Qué pasa si los tres lados dados no forman un triángulo válido?
Si la suma de los dos lados más cortos es menor o igual que el lado más largo, no existe ningún triángulo válido y la calculadora lo marcará en lugar de devolver un ángulo incorrecto.
¿Puedo usar la ley de los cosenos para encontrar los tres ángulos?
Sí. Aplica la fórmula reorganizada una vez para cada ángulo, o encuentra un ángulo de esta manera y usa la ley de los senos y la suma de los ángulos de 180 grados para los dos restantes, lo cual suele ser más rápido.
Resumen
La ley de los cosenos, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), resuelve los triángulos SSS encontrando cada ángulo a partir de la fórmula del coseno reordenado, y los triángulos SAS encontrando el tercer lado directamente, como un triángulo con lados 6 y 9 y un ángulo incluido de 45° que da un tercer lado de aproximadamente 6,37.
Generaliza el teorema de Pitágoras, reduciéndolo exactamente cuando el ángulo incluido es de 90°, y da una respuesta única e inequívoca a diferencia del caso SSA bajo la ley de los senos.