三角形余弦の法則計算機は、3 つの辺がわかっている場合 (SSS)、または 2 つの辺とそれらの間の角度がわかっている場合 (SAS) に三角形を解きます。既知の測定値を入力すると、ツールは余弦の法則を適用して残りの辺と角度を見つけ、途中で各置換を表示します。
コサインの法則は、ピタゴラスの定理を直角三角形だけでなくあらゆる三角形に一般化します。そのため、三角形の問題に扱いやすい 90 度の角度が含まれていない場合に最適なツールです。
余弦の法則を適用する
余弦の法則は、三角形の 1 つの辺と他の 2 つの辺、およびそれらの間の角度を関連付けます。
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)ここで、Cは辺cの反対側の角度です。同じ関係を再配置したバージョンでは、任意の辺の反対側の角度と他の 2 つの辺を使用して解きます。
三角形を 3 辺から解く (SSS)
3 つの辺がすべてわかっている場合は、余弦の法則を並べ替えて、各角度を順番に解きます。
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)作業例: 辺 a = 5、b = 7、c = 8 の三角形。角度 A を求めます。
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8)。
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88。
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0.7857 したがって、A = cos⁻¹(0.7857) ≈ 38.2°。
残りの 2 つの角度は同じ方法に従うか、1 つの角度がわかったらより早い方法に従います。2 番目の角度には正弦の法則を使用し、3 番目の角度では 180° から両方を減算します。
2 辺と夾角から三角形を解く (SAS)
2 つの辺とそれらの間の角度がわかっている場合、余弦の法則により 3 番目の辺が直接求められます。実行例: a = 6、b = 9、夾角 C = 45°の三角形。 1.式に代入します。 c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°)。
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0.7071 ≈ 117 − 76.37 ≈ 40.63。
3. Take the square root. c ≈ √40.63 ≈ 6.37。
3 番目の辺が見つかったら、完全な辺角のペア (角 C の反対側の辺 c) が利用できるため、正弦の法則を使用して残りの 2 つの角度を見つけることができます。
余弦の法則が必要な場合を認識する
コサインの法則は、SSS (3 辺、角度なし) および SAS (2 辺とその夾角) の場合に特に必要です。これは、サインの法則は、少なくとも 1 つの既知の角度とその反対側のペアがなければ開始できないためです。
余弦の法則によって最初の角辺のペアが生成されると、正弦の法則によって残りの計算をより直接的に完了できます。
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | 2辺と夾角 | 余弦の法則、次に正弦の法則 |
ピタゴラスの特殊な場合で結果を確認する
SAS 問題の夾角が正確に 90° の場合、cos(90°) = 0 となり、余弦の法則はピタゴラスの定理、c² = a² + b² に正確に帰着します。これは有用な健全性チェックであり、コサインの法則が、同様の問題を解決するためにたまたま無関係な公式ではなく、真の一般化であることを確認します。
2 番目の角度を解決して SSS の例を完成させます
上の三角形 a = 5、b = 7、c = 8 を続けると、角 B は辺のラベルが付け直された同じ再配置された式に従います。 1.並び替えた式に代入します。 cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0.5。
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0.5) = 60°。
3. Find the third angle. このページの前の A 値から求めた角度の合計を使用して、角度 C に対して 180 − 38.2 − 60 = 81.8° となります。
よくある質問
コサインの法則の公式とは何ですか?
c² = a² + b² − 2ab・cos(C)、ここで C は c の反対側の角度です。これは、ピタゴラスの定理を直角のない三角形に一般化します。
サインの法則の代わりにコサインの法則を使用するのはどのような場合ですか?
SSS (3 つの既知の辺) または SAS (2 つの辺と夾角) の場合には余弦の法則を使用します。これは、サインの法則を開始するには、反対側とペアになった角度が少なくとも 1 つ必要であるためです。
余弦の法則を使って角度を求めるにはどうすればよいでしょうか?
コサインを求める公式を並べ替えます: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)。次に、結果の逆余弦を取得して角度 A を求めます。
余弦の法則は直角三角形にも当てはまりますか?
はい。夾角が 90° の場合、cos(90°) = 0 となり、この式はピタゴラスの定理に正確に帰着し、別個の規則ではなく一般化であることが確認されます。
余弦の法則は SSA のような曖昧な結果をもたらす可能性がありますか?
いいえ。SSA の場合のサインの法則とは異なり、SSS または SAS に適用されるコサインの法則は、2 つの有効な角度を返すことができる逆サイン関数に依存しないため、単一の明確な答えが得られます。
指定された 3 つの辺が有効な三角形を形成しない場合はどうなるでしょうか?
2 つの短い辺の合計が最長の辺以下の場合、有効な三角形は存在せず、計算機は誤った角度を返すのではなく、これにフラグを立てます。
余弦の法則を使用して 3 つの角度をすべて見つけることはできますか?
はい。並べ替えた公式を角度ごとに 1 回適用するか、この方法で角度を 1 つ見つけて、残りの 2 つに正弦の法則と 180 度の角度の合計を使用します。通常は、この方が高速です。
まとめ
余弦の法則 c² = a² + b² − 2ab·cos(C) は、再配置された余弦公式から各角度を見つけることによって SSS 三角形を解き、辺 6 と 9 と夾角 45° で 3 番目の辺が約 6.37 となる三角形など、3 番目の辺を直接見つけることによって SAS 三角形を解きます。
これはピタゴラスの定理を一般化し、夾角が 90° の場合に正確に換算し、正弦の法則に基づく SSA の場合とは異なり、明確な単一の答えを与えます。
関連する電卓
三角形の計算機 · 三角正弦の法則の計算機 · 直角三角形の計算機