Калькулятор закона косинусов треугольника решает треугольник, когда известны три стороны (SSS) или когда известны две стороны и угол между ними (SAS). Введите известные размеры, и инструмент применит закон косинусов, чтобы найти оставшиеся стороны и углы, показывая каждую замену по пути.
Закон косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник, а не только на прямоугольные, поэтому он является предпочтительным инструментом всякий раз, когда задача треугольника не включает удобный угол в 90 градусов для работы.
Применить закон косинусов
Закон косинусов связывает одну сторону треугольника с двумя другими сторонами и углом между ними.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Здесь C, угол, противоположный стороне c. Переставленные версии одного и того же отношения определяют любую сторону, используя угол, противоположный ей, и две другие стороны.
Решить треугольник с трех сторон (SSS)
Когда известны все три стороны, закон косинусов перестраивается для решения поочередно для каждого угла.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Рабочий пример: треугольник со сторонами a = 5, b = 7, c = 8. Найдите угол A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2×7×8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, поэтому A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Остальные два угла следуют тому же методу или более быстрому пути, если известен один угол: используйте закон синусов для второго угла, затем вычтите оба из 180 ° для третьего.
Решить треугольник по двум сторонам и прилежащему углу (SAS)
Когда известны две стороны и угол между ними, закон косинусов непосредственно находит третью сторону. Рабочий пример: треугольник с a = 6, b = 9 и внутренним углом C = 45°. 1. Подставьте в формулу. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81, 108 × 0,7071 ≈ 117, 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. в ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Найдя третью сторону, оставшиеся два угла можно найти с помощью закона синусов, поскольку теперь доступна полная пара боковых углов (сторона c, противоположная углу C).
Узнайте, когда требуется закон косинусов
Закон косинусов необходим специально для случаев SSS (три стороны, без углов) и SAS (две стороны и приложенный к ним угол), поскольку закон синусов не может начинаться без хотя бы одного известного угла в паре с его противоположной стороной.
Как только закон косинусов создаст первую пару угловых сторон, закон синусов сможет завершить оставшиеся вычисления более непосредственно.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | две стороны и прилежащий угол | law of cosines, then law of sines |
Проверьте результат с помощью специального случая Пифагора
Когда включенный угол в задаче SAS равен точно 90°, cos(90°) = 0, и закон косинусов сводится в точности к теореме Пифагора: c² = a² + b². Это полезная проверка здравомыслия, подтверждающая, что закон косинусов является настоящим обобщением, а не несвязанной формулой, которая решает аналогичные проблемы.
Найдите второй угол, чтобы завершить пример SSS
Продолжая треугольник a = 5, b = 7, c = 8 сверху, угол B следует той же переработанной формуле с переименованными сторонами. 1. Подставьте в переставленную формулу. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° для угла C, используя сумму углов, найденную из предыдущего значения A на этой странице.
Часто задаваемые вопросы
В чем заключается формула закона косинусов?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), где C, угол, противоположный стороне c. Он обобщает теорему Пифагора на треугольники без прямого угла.
Когда вы используете закон косинусов вместо закона синусов?
Используйте закон косинусов для случаев SSS (три известные стороны) или SAS (две стороны и приложенный угол), поскольку для начала закона синусов необходим хотя бы один угол в паре с его противоположной стороной.
Как найти угол по закону косинусов?
Переставьте формулу для вычисления косинуса: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), затем возьмите обратный косинус результата, чтобы найти угол A.
Действует ли закон косинусов и для прямоугольных треугольников?
Да. Когда включенный угол равен 90°, cos(90°) = 0 и формула сводится в точности к теореме Пифагора, подтверждая ее как обобщение, а не как отдельное правило.
Может ли закон косинусов иметь неоднозначный результат, как SSA?
Нет. В отличие от закона синусов в случае SSA, закон косинусов, примененный к SSS или SAS, дает единственный, однозначный ответ, поскольку он не опирается на функцию обратного синуса, которая может возвращать два действительных угла.
Что, если три заданные стороны не образуют правильный треугольник?
Если сумма двух более коротких сторон меньше или равна самой длинной стороне, допустимого треугольника не существует, и калькулятор отметит это, а не вернет неправильный угол.
Могу ли я использовать закон косинусов, чтобы найти все три угла?
Да. Примените переработанную формулу один раз для каждого угла или найдите один угол таким образом и используйте закон синусов и сумму углов 180 градусов для оставшихся двух, что обычно быстрее.
Кратко
Закон косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos(C) решает треугольники SSS, находя каждый угол из перестановочной формулы косинуса, и треугольники SAS, находя третью сторону напрямую, например, треугольник со сторонами 6 и 9 и включенным углом 45 °, что дает третью сторону примерно 6,37.
Он обобщает теорему Пифагора, сводясь к ней именно тогда, когда включенный угол равен 90°, и дает однозначный единственный ответ в отличие от случая SSA по закону синусов.
Сопутствующие калькуляторы
Калькулятор треугольника · Калькулятор закона синусов треугольника · Калькулятор прямоугольного треугольника