코사인 계산기의 삼각형 법칙은 세 변을 알 때(SSS), 두 변과 그 사이의 각도를 알 때(SAS) 삼각형을 풉니다. 알려진 측정값을 입력하면 도구가 코사인 법칙을 적용하여 나머지 변과 각도를 찾아 그 과정에서 각 치환을 표시합니다.
코사인 법칙은 피타고라스 정리를 직각삼각형뿐만 아니라 모든 삼각형에 일반화합니다. 이것이 바로 삼각형 문제에 작업하기에 편리한 90도 각도가 포함되지 않을 때마다 선택되는 도구인 이유입니다.
코사인 법칙을 적용해 보세요
코사인 법칙은 삼각형의 한 변을 다른 두 변과 그 사이의 각도와 연관시킵니다.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)여기서 C는 c와 반대되는 각도입니다. 동일한 관계의 재배열된 버전은 반대쪽 각도와 다른 두 변을 사용하여 모든 변에 대해 해결됩니다.
세 변에서 삼각형 풀기(SSS)
세 변을 모두 알면 코사인 법칙이 재정렬되어 각 각도를 차례로 해결합니다.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)예제: 변이 a = 5, b = 7, c = 8인 삼각형. 각도 A를 찾습니다.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≒ 0.7857, 따라서 A = cos⁻1(0.7857) ≒ 38.2°.
나머지 두 각도는 동일한 방법을 따르거나 한 각도를 알고 나면 더 빠른 경로를 따릅니다. 두 번째 각도에는 사인 법칙을 사용한 다음 세 번째 각도에서는 180°에서 두 각도를 뺍니다.
두 변과 끼인각(SAS)으로 삼각형을 푼다
두 변과 그 사이의 각도를 알면 코사인 법칙은 세 번째 변을 직접 찾습니다. 실제 예: a = 6, b = 9, 사이각 C = 45°인 삼각형. 1. 공식에 대입합니다. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0.7071 ≒ 117 − 76.37 ≒ 40.63.
3. Take the square root. c ≒ √40.63 ≒ 6.37.
세 번째 변을 찾으면 사인 법칙을 사용하여 나머지 두 각도를 찾을 수 있습니다. 이제 완전한 변 각도 쌍(변 c 반대 각도 C)을 사용할 수 있기 때문입니다.
코사인 법칙이 필요한 시기를 인식하세요
코사인 법칙은 특히 SSS(3개의 변, 각도 없음) 및 SAS(2개의 변과 포함된 각도)의 경우에 필요합니다. 왜냐하면 사인 법칙은 적어도 하나의 알려진 각도가 반대편과 짝을 이루지 않으면 시작할 수 없기 때문입니다.
코사인 법칙이 첫 번째 각 변 쌍을 생성하면 사인 법칙을 통해 나머지 계산을 더 직접적으로 완료할 수 있습니다.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | 양면과 끼인각 | 코사인의 법칙, 그 다음은 사인의 법칙 |
피타고라스의 특별한 경우로 결과를 확인하세요
SAS 문제의 끼인각이 정확히 90°이면 cos(90°) = 0이고 코사인 법칙은 정확히 피타고라스 정리: c² = a² + b²로 축소됩니다. 이는 코사인 법칙이 유사한 문제를 해결하기 위해 발생하는 관련 없는 공식이 아니라 진정한 일반화임을 확인하는 유용한 온전성 검사입니다.
SSS 예제를 완성하기 위해 두 번째 각도를 풀어보세요
위에서부터 a = 5, b = 7, c = 8 삼각형을 이어가면 각도 B는 변의 이름이 다시 지정된 동일한 재배열 공식을 따릅니다. 1. 재배열된 공식으로 대입합니다. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0.5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0.5) = 60°.
3. Find the third angle. 이 페이지의 이전 A 값에서 찾은 각도 합을 사용하여 각도 C의 경우 180 − 38.2 − 60 = 81.8°입니다.
자주 묻는 질문
코사인 공식의 법칙은 무엇입니까?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), 여기서 C는 c 반대쪽 각도입니다. 피타고라스의 정리를 직각이 없는 삼각형으로 일반화합니다.
사인 법칙 대신 코사인 법칙을 사용하는 경우는 언제입니까?
SSS(알려진 세 변) 또는 SAS(두 변과 끼인각)의 경우 코사인 법칙을 사용합니다. 사인 법칙을 시작하려면 반대 변과 쌍을 이루는 각도가 하나 이상 필요하기 때문입니다.
코사인 법칙을 사용하여 각도를 어떻게 구합니까?
코사인을 구하는 공식을 재정렬합니다: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), 그런 다음 결과의 역코사인을 취하여 각도 A를 찾습니다.
코사인 법칙은 직각삼각형에도 적용되나요?
예. 끼인각이 90°일 때 cos(90°) = 0이고 공식은 정확히 피타고라스의 정리로 환원되어 별도의 법칙이 아닌 일반화로 확인됩니다.
코사인 법칙이 SSA처럼 모호한 결과를 낳을 수 있나요?
아니요. SSA 사례의 사인 법칙과 달리 SSS 또는 SAS에 적용되는 코사인 법칙은 두 개의 유효한 각도를 반환할 수 있는 역사인 함수에 의존하지 않기 때문에 단일하고 명확한 답을 제공합니다.
주어진 세 변이 유효한 삼각형을 형성하지 않으면 어떻게 될까요?
짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 작거나 같으면 유효한 삼각형이 존재하지 않으며 계산기는 잘못된 각도를 반환하는 대신 이를 표시합니다.
코사인 법칙을 사용하여 세 각을 모두 찾을 수 있나요?
예. 각 각도에 대해 재배열된 공식을 한 번 적용하거나, 이 방법으로 하나의 각도를 찾고 나머지 두 각도에 대해 사인 법칙과 180도 각도 합을 사용합니다. 이는 일반적으로 더 빠릅니다.
요약
코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)는 재배열된 코사인 공식에서 각 각도를 찾아 SSS 삼각형을 풀고, 변 6과 9가 있고 45° 끼인각이 있는 삼각형과 같이 세 번째 변이 약 6.37인 삼각형을 직접 구하여 SAS 삼각형을 풉니다.
피타고라스의 정리를 일반화하여 끼인각이 90°일 때 정확하게 이를 축소하고, 사인 법칙에 따른 SSA의 경우와는 달리 명확한 단일 답을 제공합니다.