Der Rechner für das Dreieckskosinusgesetz löst ein Dreieck, wenn drei Seiten bekannt sind (SSS) oder wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind (SAS). Geben Sie die bekannten Maße ein, und das Tool wendet das Kosinusgesetz an, um die verbleibenden Seiten und Winkel zu ermitteln, und zeigt dabei jede Ersetzung an.
Das Kosinusgesetz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf jedes beliebige Dreieck, nicht nur auf rechtwinklige Dreiecke, weshalb es das Werkzeug der Wahl ist, wenn ein Dreiecksproblem keinen geeigneten 90-Grad-Winkel zum Arbeiten enthält.
Wenden Sie das Kosinusgesetz an
Das Kosinusgesetz setzt eine Seite eines Dreiecks mit den beiden anderen Seiten und dem Winkel zwischen ihnen in Beziehung.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Dabei ist C der Winkel gegenüber der Seite c. Neu angeordnete Versionen derselben Beziehung lösen für jede Seite unter Verwendung des ihr gegenüberliegenden Winkels und der anderen beiden Seiten.
Lösen Sie ein Dreieck aus drei Seiten (SSS)
Wenn alle drei Seiten bekannt sind, ordnet sich das Kosinusgesetz neu an, um es nacheinander für jeden Winkel zu lösen.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Arbeitsbeispiel: ein Dreieck mit den Seiten a = 5, b = 7, c = 8. Finden Sie den Winkel A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, also A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Die verbleibenden zwei Winkel folgen der gleichen Methode oder der schnelleren Route, sobald ein Winkel bekannt ist: Verwenden Sie das Sinusgesetz für den zweiten Winkel und subtrahieren Sie dann beide von 180° für den dritten.
Lösen Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SAS)
Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, findet das Kosinusgesetz die dritte Seite direkt. Arbeitsbeispiel: ein Dreieck mit a = 6, b = 9 und einem eingeschlossenen Winkel C = 45°. 1. Setzen Sie in die Formel ein. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Nachdem die dritte Seite gefunden wurde, können die verbleibenden zwei Winkel mithilfe des Sinussatzes ermittelt werden, da nun ein vollständiges Seitenwinkelpaar (Seite c gegenüber Winkel C) verfügbar ist.
Erkennen Sie, wann das Kosinusgesetz erforderlich ist
Das Kosinusgesetz wird speziell für die Fälle SSS (drei Seiten, keine Winkel) und SAS (zwei Seiten und der darin eingeschlossene Winkel) benötigt, da das Sinusgesetz nicht ohne mindestens einen bekannten Winkel gepaart mit seiner gegenüberliegenden Seite beginnen kann.
Sobald das Kosinusgesetz das erste Winkel-Seiten-Paar erzeugt, kann das Sinusgesetz die verbleibenden Berechnungen direkter abschließen.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | zwei Seiten und der mitgelieferte Winkel | law of cosines, then law of sines |
Überprüfen Sie das Ergebnis mit dem pythagoräischen Sonderfall
Wenn der eingeschlossene Winkel in einem SAS-Problem genau 90° beträgt, ist cos(90°) = 0 und das Kosinusgesetz reduziert sich genau auf den Satz des Pythagoras: c² = a² + b². Dies ist eine nützliche Plausibilitätsprüfung, die bestätigt, dass das Kosinusgesetz eine echte Verallgemeinerung und keine unabhängige Formel ist, die zufällig ähnliche Probleme löst.
Lösen Sie nach einem zweiten Winkel auf, um das SSS-Beispiel zu vervollständigen
Wenn man das Dreieck a = 5, b = 7, c = 8 von oben fortsetzt, folgt Winkel B derselben neu angeordneten Formel mit neu beschrifteten Seiten. 1. Setzen Sie es in die umgestellte Formel ein. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° für Winkel C, unter Verwendung der Winkelsumme, die aus dem früheren A-Wert auf dieser Seite ermittelt wurde.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Formel des Kosinusgesetzes?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), wobei C der Winkel gegenüber der Seite c ist. Es verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf Dreiecke ohne rechten Winkel.
Wann verwendet man das Kosinusgesetz anstelle des Sinusgesetzes?
Verwenden Sie das Kosinusgesetz für SSS- (drei bekannte Seiten) oder SAS-Fälle (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel), da das Sinusgesetz zu Beginn mindestens einen Winkel gepaart mit seiner Gegenseite benötigt.
Wie findet man einen Winkel mithilfe des Kosinusgesetzes?
Ordnen Sie die Formel zur Lösung nach dem Kosinus neu an: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc) und verwenden Sie dann den Umkehrkosinus des Ergebnisses, um den Winkel A zu ermitteln.
Funktioniert das Kosinusgesetz auch für rechtwinklige Dreiecke?
Ja. Wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt, ist cos(90°) = 0 und die Formel reduziert sich genau auf den Satz des Pythagoras, was bestätigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung und nicht um eine separate Regel handelt.
Kann das Kosinusgesetz ein mehrdeutiges Ergebnis wie SSA haben?
Nein. Im Gegensatz zum Sinusgesetz im SSA-Fall liefert das auf SSS oder SAS angewendete Kosinusgesetz eine einzige, eindeutige Antwort, da es nicht auf einer Umkehrsinusfunktion beruht, die zwei gültige Winkel zurückgeben kann.
Was passiert, wenn die drei angegebenen Seiten kein gültiges Dreieck bilden?
Wenn die Summe der beiden kürzeren Seiten kleiner oder gleich der längsten Seite ist, existiert kein gültiges Dreieck und der Rechner zeigt dies an, anstatt einen falschen Winkel zurückzugeben.
Kann ich das Kosinusgesetz verwenden, um alle drei Winkel zu finden?
Ja. Wenden Sie die neu geordnete Formel einmal für jeden Winkel an oder finden Sie auf diese Weise einen Winkel und verwenden Sie für die verbleibenden beiden das Sinusgesetz und die 180-Grad-Winkelsumme, was normalerweise schneller ist.
Zusammenfassung
Das Kosinusgesetz c² = a² + b² − 2ab·cos(C) löst SSS-Dreiecke, indem es jeden Winkel aus der umgeordneten Kosinusformel ermittelt, und SAS-Dreiecke, indem es die dritte Seite direkt ermittelt, z. B. ein Dreieck mit den Seiten 6 und 9 und einem eingeschlossenen Winkel von 45°, was eine dritte Seite von etwa 6,37 ergibt.
Es verallgemeinert den Satz des Pythagoras, reduziert ihn genau dann, wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt, und liefert im Gegensatz zum SSA-Fall nach dem Sinusgesetz eine eindeutige Einzelantwort.