حاسبة قانون جيب التمام

قانون المثلث لجيب التمام يحل المثلث عندما تكون ثلاثة أضلاع معروفة (SSS)، أو عندما يكون الجانبان والزاوية بينهما معروفة (SAS). أدخل القياسات المعروفة، وتقوم الأداة بتطبيق قانون جيب التمام للعثور على الجوانب والزوايا المتبقية، مع إظهار كل استبدال على طول الطريق.

يعمم قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس على أي مثلث، وليس فقط المثلثات القائمة، ولهذا السبب فهو أداة الاختيار عندما لا تتضمن مشكلة المثلث زاوية ملائمة قدرها 90 درجة للعمل بها.

تطبيق قانون جيب التمام

قانون جيب التمام يربط أحد جوانب المثلث بالجانبين الآخرين والزاوية بينهما.

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

هنا، C هي الزاوية المقابلة لـ c. يمكن حل الإصدارات المعاد ترتيبها من نفس العلاقة لأي جانب باستخدام الزاوية المقابلة له والجانبين الآخرين.

حل مثلث من ثلاثة جوانب (SSS)

عندما تكون الجوانب الثلاثة معروفة، يتم إعادة ترتيب قانون جيب التمام لحل كل زاوية على حدة.

cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)

مثال عملي: مثلث أضلاعه أ = 5، ب = 7، ج = 8. أوجد الزاوية أ.

1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).

2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.

3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.

4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0.7857، لذا A = cos⁻¹(0.7857) ≈ 38.2°.

تتبع الزاويتان المتبقيتان نفس الطريقة، أو المسار الأسرع بمجرد معرفة زاوية واحدة: استخدم قانون الجيب للزاوية الثانية، ثم اطرح كليهما من 180 درجة للزاوية الثالثة.

حل مثلث من ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)

عندما يعرف الضلعان والزاوية بينهما، فإن قانون جيب التمام يجد الضلع الثالث مباشرة. مثال عملي: مثلث أ = 6، ب = 9، والزاوية المتضمنة ج = 45 درجة. 1. عوّض في الصيغة. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).

2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0.7071 ≈ 117 − 76.37 ≈ 40.63.

3. Take the square root. ج ≈ √40.63 ≈ 6.37.

مع العثور على الجانب الثالث، يمكن بعد ذلك العثور على الزاويتين المتبقيتين باستخدام قانون الجيب، حيث أن زوج الزاوية الجانبية الكاملة (الضلع c المقابل للزاوية C) متاح الآن.

التعرف على متى يكون قانون جيب التمام مطلوبًا

قانون جيب التمام ضروري خصيصًا لحالات SSS (ثلاثة جوانب، بدون زوايا) وSAS (جانبان وزاويتهما المتضمنة)، لأن قانون الجيب لا يمكن أن يبدأ بدون زاوية معروفة واحدة على الأقل مقترنة بجانبها المقابل.

بمجرد أن ينتج قانون جيب التمام زوج الزاوية الأول، يمكن لقانون جيب التمام إنهاء الحسابات المتبقية بشكل أكثر مباشرة.

Case	You know	Method
SSS	three sides	law of cosines
SAS	الجانبين والزاوية المدرجة	law of cosines, then law of sines

تحقق من النتيجة باستخدام حالة فيثاغورس الخاصة

عندما تكون الزاوية المضمنة في مشكلة SAS هي 90 درجة بالضبط، فإن cos(90°) = 0، ويتم تقليل قانون جيب التمام تمامًا إلى نظرية فيثاغورس: c² = a² + b². يعد هذا فحصًا منطقيًا مفيدًا، حيث يؤكد أن قانون جيب التمام هو تعميم حقيقي وليس صيغة غير ذات صلة تحل مشكلات مماثلة.

قم بحل الزاوية الثانية لإكمال مثال SSS

استمرارًا للمثلث a = 5، b = 7، c = 8 من الأعلى، تتبع الزاوية B نفس الصيغة المعاد ترتيبها مع إعادة تسمية الجوانب. 1. عوّض في الصيغة المعاد ترتيبها. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0.5.

2. Take the inverse cosine. ب = cos⁻¹(0.5) = 60°.

3. Find the third angle. 180 − 38.2 − 60 = 81.8° للزاوية C، باستخدام مجموع الزوايا الذي تم العثور عليه من قيمة A السابقة في هذه الصفحة.

الأسئلة الشائعة

ملخص

قانون جيب التمام، c² = a² + b² − 2ab·cos(C)، يحل مثلثات SSS من خلال إيجاد كل زاوية من صيغة جيب التمام المعاد ترتيبها، ومثلثات SAS من خلال إيجاد الجانب الثالث مباشرة، مثل المثلث ذو الجانبين 6 و 9 وزاوية متضمنة 45 درجة مما يعطي ضلعًا ثالثًا يبلغ حوالي 6.37.

إنه يعمم نظرية فيثاغورس، ويختصرها بالضبط عندما تكون الزاوية المشمولة 90 درجة، ويعطي إجابة واحدة لا لبس فيها على عكس حالة SSA بموجب قانون الجيب.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

حاسبة المثلث · قانون المثلث حاسبة الجيب · حاسبة المثلث القائم