Kalkulator cosinusów trójkąta rozwiązuje trójkąt, gdy znane są trzy boki (SSS) lub gdy znane są dwa boki i kąt między nimi (SAS). Wprowadź znane wymiary, a narzędzie zastosuje twierdzenie cosinusów do znalezienia pozostałych boków i kątów, pokazując po drodze każde podstawienie.
Prawo cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa na dowolny trójkąt, a nie tylko na trójkąty prostokątne, dlatego jest to narzędzie z wyboru, gdy problem z trójkątem nie obejmuje wygodnego do pracy kąta 90 stopni.
Zastosuj twierdzenie cosinusów
Prawo cosinusów wiąże jeden bok trójkąta z dwoma pozostałymi bokami i kątem między nimi.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Tutaj C jest kątem przeciwnym do boku c. Przestawione wersje tej samej relacji rozwiązują każdą stronę, używając kąta znajdującego się naprzeciwko niej i pozostałych dwóch stron.
Rozwiązywanie trójkąta z trzech boków (SSS)
Kiedy znane są wszystkie trzy strony, prawo cosinusów zmienia się, aby rozwiązać je po kolei dla każdego kąta.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Praktyczny przykład: trójkąt o bokach a = 5, b = 7, c = 8. Znajdź kąt A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 - 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, więc A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Pozostałe dwa kąty wykonaj w ten sam sposób lub szybciej, gdy znany jest jeden kąt: użyj twierdzenia sinusów dla drugiego kąta, a następnie odejmij oba od 180° dla trzeciego.
Rozwiąż trójkąt z dwóch boków i kąta zawartego (SAS)
Kiedy znane są dwa boki i kąt między nimi, twierdzenie cosinusów znajduje bezpośrednio trzeci bok. Przykład praktyczny: trójkąt o a = 6, b = 9 i kącie zawartym C = 45°. 1. Podstaw do wzoru. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 - 108 × 0,7071 ≈ 117 - 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. do ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Po znalezieniu trzeciego boku można następnie znaleźć pozostałe dwa kąty, korzystając z twierdzenia sinusów, ponieważ dostępna jest teraz pełna para kątów bocznych (strona c przeciwna do kąta C).
Rozpoznaj, kiedy wymagane jest prawo cosinusów
Prawo cosinusów jest potrzebne szczególnie w przypadkach SSS (trzy boki, brak kątów) i SAS (dwa boki i zawarty w nich kąt), ponieważ twierdzenie sinusów nie może zaczynać się bez przynajmniej jednego znanego kąta sparowanego z jego przeciwną stroną.
Gdy zasada cosinusów utworzy pierwszą parę boków kąta, prawo sinusów może zakończyć pozostałe obliczenia w bardziej bezpośredni sposób.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dwa boki i kąt zawarty | law of cosines, then law of sines |
Sprawdź wynik w specjalnym przypadku pitagorejskim
Kiedy kąt zawarty w problemie SAS wynosi dokładnie 90°, cos(90°) = 0, a twierdzenie cosinusów sprowadza się dokładnie do twierdzenia Pitagorasa: c² = a² + b². Jest to przydatna kontrola zdrowego rozsądku, potwierdzająca, że prawo cosinusów jest prawdziwym uogólnieniem, a nie niepowiązanym wzorem, który akurat rozwiązuje podobne problemy.
Aby ukończyć przykład SSS, znajdź drugi kąt
Kontynuując trójkąt a = 5, b = 7, c = 8 z góry, kąt B ma ten sam przestawiony wzór, ze zmienionymi bokami. 1. Podstaw do przekształconego wzoru. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38,2 − 60 = 81,8° dla kąta C, korzystając z sumy kątów znalezionej we wcześniejszej wartości A na tej stronie.
Najczęściej zadawane pytania
Jakie jest prawo formuły cosinusów?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), gdzie C jest kątem leżącym po przeciwnej stronie c. Uogólnia twierdzenie Pitagorasa na trójkąty bez kąta prostego.
Kiedy stosujesz twierdzenie cosinusów zamiast twierdzenia sinusów?
Użyj twierdzenia cosinusów w przypadkach SSS (trzy znane boki) lub SAS (dwa boki i kąt zawarty), ponieważ twierdzenie sinusów wymaga na początku co najmniej jednego kąta sparowanego z jego przeciwną stroną.
Jak znaleźć kąt, korzystając z twierdzenia cosinusów?
Zmień układ wzoru, aby obliczyć cosinus: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), a następnie weź odwrotny cosinus wyniku i znajdź kąt A.
Czy zasada cosinusów działa również w przypadku trójkątów prostokątnych?
Tak. Gdy kąt zawarty wynosi 90°, cos(90°) = 0, a wzór sprowadza się dokładnie do twierdzenia Pitagorasa, potwierdzając to jako uogólnienie, a nie osobną regułę.
Czy twierdzenie cosinusów może mieć niejednoznaczny wynik jak SSA?
Nie. W przeciwieństwie do twierdzenia sinusów w przypadku SSA, twierdzenie cosinusów zastosowane do SSS lub SAS daje jedną, jednoznaczną odpowiedź, ponieważ nie opiera się na odwrotnej funkcji sinus, która może zwrócić dwa ważne kąty.
Co się stanie, jeśli trzy dane boki nie utworzą prawidłowego trójkąta?
Jeśli suma dwóch krótszych boków jest mniejsza lub równa najdłuższemu bokowi, nie istnieje prawidłowy trójkąt, a kalkulator oznaczy to, zamiast zwracać nieprawidłowy kąt.
Czy mogę skorzystać z twierdzenia cosinusów, aby znaleźć wszystkie trzy kąty?
Tak. Zastosuj przestawiony wzór raz dla każdego kąta lub znajdź w ten sposób jeden kąt i skorzystaj z prawa sinusów i sumy kątów 180 stopni dla pozostałych dwóch, co jest zwykle szybsze.
Podsumowanie
Prawo cosinusów, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), rozwiązuje trójkąty SSS, znajdując każdy kąt z przestawionego wzoru na cosinus, a trójkąty SAS, znajdując bezpośrednio trzeci bok, na przykład trójkąt o bokach 6 i 9 oraz kąt zawarty 45°, co daje trzeci bok około 6,37.
Uogólnia twierdzenie Pitagorasa, redukując do niego dokładnie wtedy, gdy kąt zawarty wynosi 90 °, i daje jednoznaczną jedną odpowiedź, w przeciwieństwie do przypadku SSA zgodnie z prawem sinusów.