Kalkulator Hukum Segitiga Kosinus menyelesaikan segitiga ketika tiga sisinya diketahui (SSS), atau ketika dua sisi dan sudut di antara keduanya diketahui (SAS). Masukkan hasil pengukuran yang diketahui, dan alat tersebut akan menerapkan hukum kosinus untuk mencari sisi dan sudut yang tersisa, serta menunjukkan setiap substitusi di sepanjang pengukuran tersebut.
Hukum kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras pada segitiga apa pun, bukan hanya segitiga siku-siku, itulah sebabnya teorema ini menjadi alat pilihan setiap kali soal segitiga tidak mencakup sudut 90 derajat yang sesuai untuk dikerjakan.
Terapkan hukum cosinus
Hukum kosinus menghubungkan satu sisi segitiga dengan dua sisi lainnya dan sudut di antara keduanya.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Di sini, C adalah sudut yang berhadapan dengan c. Versi relasi yang sama yang disusun ulang menyelesaikan sisi mana pun menggunakan sudut yang berhadapan dengannya dan dua sisi lainnya.
Memecahkan segitiga dari tiga sisi (SSS)
Jika ketiga sisinya diketahui, hukum kosinus akan disusun ulang untuk menyelesaikan setiap sudut secara bergantian.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)Contoh yang berhasil: segitiga dengan sisi a = 5, b = 7, c = 8. Tentukan sudut A.
1. Substitute into the rearranged formula. cos(A) = (7² + 8² − 5²) / (2 × 7 × 8).
2. Simplify the numerator. 49 + 64 − 25 = 88.
3. Simplify the denominator. 2 × 7 × 8 = 112.
4. Divide and take the inverse cosine. cos(A) = 88/112 ≈ 0,7857, jadi A = cos⁻¹(0,7857) ≈ 38,2°.
Dua sudut yang tersisa mengikuti metode yang sama, atau rute yang lebih cepat setelah salah satu sudut diketahui: gunakan hukum sinus untuk sudut kedua, lalu kurangi keduanya dari 180° untuk sudut ketiga.
Memecahkan segitiga dari dua sisi dan sudut yang disertakan (SAS)
Jika dua sisi dan sudut di antara keduanya diketahui, hukum kosinus menentukan sisi ketiga secara langsung. Contoh yang berhasil: segitiga dengan a = 6, b = 9, dan memiliki sudut C = 45°. 1. Substitusikan ke dalam rumus. c² = 6² + 9² − 2(6)(9)cos(45°).
2. Calculate each term. 36 + 81 − 108 × 0,7071 ≈ 117 − 76,37 ≈ 40,63.
3. Take the square root. c ≈ √40,63 ≈ 6,37.
Dengan menemukan sisi ketiga, dua sudut yang tersisa kemudian dapat dicari menggunakan hukum sinus, karena sekarang tersedia pasangan sudut sisi penuh (sisi c berlawanan dengan sudut C).
Kenali kapan hukum kosinus diperlukan
Hukum kosinus diperlukan khusus untuk kasus SSS (tiga sisi, tidak ada sudut) dan SAS (dua sisi dan sudut yang disertakan), karena hukum sinus tidak dapat dimulai tanpa setidaknya satu sudut diketahui dipasangkan dengan sisi berlawanannya.
Setelah hukum cosinus menghasilkan pasangan sudut-sisi pertama, hukum sinus dapat menyelesaikan perhitungan selanjutnya secara lebih langsung.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dua sisi dan sudut yang disertakan | law of cosines, then law of sines |
Periksa hasilnya dengan kasus khusus Pythagoras
Jika sudut yang disertakan dalam soal SAS tepat 90°, cos(90°) = 0, dan hukum cosinus tereduksi menjadi teorema Pythagoras: c² = a² + b². Ini adalah pemeriksaan kewarasan yang berguna, yang menegaskan bahwa hukum kosinus adalah generalisasi asli dan bukan rumus yang tidak terkait yang terjadi untuk memecahkan masalah serupa.
Selesaikan sudut kedua untuk melengkapi contoh SSS
Melanjutkan segitiga a = 5, b = 7, c = 8 dari atas, sudut B mengikuti rumus yang disusun ulang sama dengan sisi-sisinya diberi label ulang. 1. Substitusikan ke dalam rumus yang telah disusun ulang. cos(B) = (5² + 8² − 7²) / (2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40/80 = 0,5.
2. Take the inverse cosine. B = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3. Find the third angle. 180 − 38.2 − 60 = 81.8° untuk sudut C, menggunakan jumlah sudut yang diperoleh dari nilai A sebelumnya di halaman ini.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus hukum cosinus?
c² = a² + b² − 2ab·cos(C), dimana C adalah sudut dihadapan c. Ini menggeneralisasi teorema Pythagoras menjadi segitiga tanpa sudut siku-siku.
Kapan Anda menggunakan hukum cosinus dan bukan hukum sinus?
Gunakan hukum kosinus untuk kasus SSS (tiga sisi yang diketahui) atau SAS (dua sisi dan sudut yang disertakan), karena hukum sinus memerlukan setidaknya satu sudut yang dipasangkan dengan sisi yang berlawanan untuk memulai.
Bagaimana cara mencari sudut menggunakan hukum cosinus?
Susun ulang rumus untuk menyelesaikan kosinus: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), lalu ambil invers cosinus dari hasilnya untuk mencari sudut A.
Apakah hukum kosinus juga berlaku untuk segitiga siku-siku?
Ya. Jika sudut yang disertakan adalah 90°, cos(90°) = 0 dan rumusnya tereduksi menjadi teorema Pythagoras, sehingga menegaskannya sebagai generalisasi dan bukan aturan terpisah.
Bisakah hukum kosinus memberikan hasil yang ambigu seperti SSA?
Berbeda dengan hukum sinus pada kasus SSA, hukum kosinus yang diterapkan pada SSS atau SAS memberikan jawaban tunggal yang tidak ambigu, karena tidak bergantung pada fungsi sinus terbalik yang dapat menghasilkan dua sudut valid.
Bagaimana jika ketiga sisi tertentu tidak membentuk segitiga siku-siku?
Jika jumlah dua sisi terpendek kurang dari atau sama dengan sisi terpanjang, maka tidak ada segitiga sahih, dan kalkulator akan menandainya daripada mengembalikan sudut yang salah.
Bisakah saya menggunakan hukum kosinus untuk mencari ketiga sudut?
Ya. Terapkan rumus yang disusun ulang satu kali untuk setiap sudut, atau temukan satu sudut dengan cara ini dan gunakan hukum sinus dan jumlah sudut 180 derajat untuk dua sudut lainnya, yang biasanya lebih cepat.
Ringkasan
Hukum kosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), menyelesaikan segitiga SSS dengan mencari setiap sudut dari rumus kosinus yang disusun ulang, dan segitiga SAS dengan mencari sisi ketiga secara langsung, seperti segitiga dengan sisi 6 dan 9 serta sudut yang disertakan 45° yang menghasilkan sisi ketiga sekitar 6,37.
Ini menggeneralisasi teorema Pythagoras, mereduksinya menjadi tepat ketika sudut yang disertakan adalah 90°, dan memberikan jawaban tunggal yang jelas tidak seperti kasus SSA berdasarkan hukum sinus.