La Calculadora de permutaciones y combinaciones cambia entre P(n, r), para selecciones donde el orden importa, y C(n, r), para selecciones donde no, usando las mismas entradas n y r. Ambas fórmulas comparten el mismo bloque de construcción, n!, así que la herramienta calcula una expansión factorial y deriva ambos resultados de ella.
Distingue permutaciones y combinaciones
La única pregunta que separa las dos es si reordenar los ítems elegidos produce un resultado distinto. Asignar el primero, segundo y tercer puesto entre 6 finalistas se ocupa del orden, así que necesita una permutación. Elegir 3 finalistas para avanzar a una ronda de playoff, sin ranking entre ellos, no se ocupa del orden, así que necesita una combinación.
Calcula el conteo de permutaciones
Las permutaciones usan P(n, r) = n! / (n − r)!. Para n = 6, r = 3, eso es 6! / 3!, que es (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1), simplificando a 6 × 5 × 4, igual a 120.
La Calculadora de permutaciones y combinaciones imprime esta cancelación directamente para que no haga falta calcular el cociente factorial completo.
Calcula el conteo de combinaciones
Las combinaciones usan C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Para el mismo n = 6, r = 3, eso es 6! / (3! × 3!), que es 720 / (6 × 6), igual a 20.
Las combinaciones dividen el conteo de permutaciones entre r! porque cada grupo de r ítems se puede ordenar de r! formas distintas, y las combinaciones tratan todos esos ordenamientos como el mismo resultado.
Mira la relación entre las dos fórmulas
P(n, r) siempre es igual a C(n, r) multiplicado por r!, pues una combinación agrupa ítems y una permutación también los ordena. Para n = 6, r = 3: C(6, 3) × 3! = 20 × 6 = 120, coincidiendo exactamente con P(6, 3).
Esta relación permite a la Calculadora de permutaciones y combinaciones derivar cualquiera de los dos valores una vez conocido el otro, sin ejecutar dos cálculos factoriales separados.
Evita este error habitual
Elegir la fórmula incorrecta para un problema verbal es el error más frecuente en este tema. Un sorteo de lotería de 6 números de 49, donde los números se informan como un conjunto sin ranking, es una combinación, C(49, 6).
Asignar 3 premios distintos (primero, segundo, tercero) a 3 de 10 participantes es una permutación, P(10, 3), porque importa qué participante recibe qué premio concreto. Lee el problema buscando lenguaje como "en orden," "clasificado" o "asignado a un rol" como señales de permutación, y lenguaje como "un grupo de," "un subconjunto" o "seleccionados juntos" como señales de combinación.
Calcula ambos valores uno al lado del otro
Introducir n = 8, r = 2 en la Calculadora de permutaciones y combinaciones devuelve ambos resultados a partir de la base factorial compartida 8!. La permutación P(8, 2) = 8 × 7 = 56 cuenta pares ordenados, como asignar un capitán y un subcapitán de 8 jugadores.
La combinación C(8, 2) = 56 / 2! = 28 cuenta pares no ordenados, como elegir 2 jugadores para representar al equipo sin distinción entre ellos. La permutación es exactamente 2! = 2 veces la combinación aquí, coincidiendo con la relación general para cualquier n y r.
Construye intuición con una lista de comprobación que se encoge
Una forma fiable de decidir entre las dos fórmulas es imaginar asignar etiquetas de una en una. Si cada ítem seleccionado recibe una etiqueta, marca o rango distinguible al elegirse, el conteo necesita una permutación. Si los ítems seleccionados simplemente se reúnen en un grupo sin etiquetas sin distinción entre ellos, el conteo necesita una combinación.
Resolver a mano unos cuantos ejemplos pequeños, como elegir 2 letras de {A, B, C} tanto como par ordenado como no ordenado, construye la intuición más rápido que memorizar solo las fórmulas.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
Una permutación cuenta arreglos donde el orden importa, mientras que una combinación cuenta selecciones donde el orden no importa. Las permutaciones son siempre r! veces mayores que las combinaciones para el mismo n y r.
¿Cómo se sabe si usar una permutación o una combinación?
Para saber si usar una permutación o una combinación, pregunta si intercambiar el orden de los ítems elegidos crea un resultado distinto. Si sí, usa una permutación; si los ítems se tratan como un grupo no ordenado, usa una combinación.
¿Cuál es la fórmula que conecta permutaciones y combinaciones?
La fórmula que las conecta es P(n, r) = C(n, r) × r!, pues una permutación también contabiliza cada ordenamiento de los r ítems seleccionados que una combinación trata como idénticos.
¿De cuántas formas se pueden elegir 3 ganadores de 10 participantes si el orden no importa?
Si el orden no importa, 3 ganadores elegidos de 10 participantes dan C(10, 3), que es igual a 120, pues 10! / (3! × 7!) se simplifica a (10 × 9 × 8) / 6.
¿De cuántas formas se pueden otorgar 3 premios distintos a 10 participantes?
Otorgar 3 premios distintos a 10 participantes usa P(10, 3), que es igual a 720, pues asignar el primero, segundo y tercer puesto es una selección ordenada: 10 × 9 × 8.
¿Pueden las permutaciones y combinaciones usar el mismo n y r?
Las permutaciones y combinaciones pueden usar los mismos valores de n y r, y la Calculadora de permutaciones y combinaciones calcula ambos a partir de un solo par de entradas, permitiendo comparar los dos resultados en una pantalla.
¿Qué son P(8, 2) y C(8, 2)?
P(8, 2) es igual a 56, calculado como 8 × 7, mientras que C(8, 2) es igual a 28, hallado al dividir el conteo de permutaciones entre 2!. La permutación es exactamente el doble de la combinación, pues cada par no ordenado se puede ordenar de 2 formas distintas.
¿Hay una forma rápida de decidir entre una permutación y una combinación?
Una forma rápida de decidir es imaginar asignar una etiqueta distinguible a cada ítem elegido al seleccionarlo: si esa etiquetación importa al resultado, usa una permutación; si los ítems solo se reúnen en un grupo sin etiquetas, usa una combinación.
Resumen
La Calculadora de permutaciones y combinaciones calcula P(n, r) = n! / (n − r)! para selecciones ordenadas y C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) para no ordenadas, a partir del mismo n y r.
Las dos fórmulas se relacionan mediante P(n, r) = C(n, r) × r!. Lee con cuidado el problema verbal para ver si el orden importa antes de elegir qué conteo responde a la pregunta.