تقوم حاسبة التقليب والدمج بالتبديل بين P(n, r)، للتحديدات التي يكون فيها الترتيب مهمًا، وC(n, r)، للتحديدات التي لا يكون لها أهمية، باستخدام نفس مدخلات n وr. تشترك كلتا الصيغتين في نفس الكتلة البرمجية الإنشائية، n!، لذا تحسب الأداة توسيعًا عامليًا واحدًا وتستمد كلا النتيجتين منه.
أخبر التباديل والمجموعات عن بعضها البعض
والسؤال الوحيد الذي يفصل بين الاثنين هو ما إذا كانت إعادة ترتيب العناصر المختارة تؤدي إلى نتيجة مختلفة. إن تعيين المركز الأول والثاني والثالث بين المتأهلين للنهائيات 6 يهتم بالترتيب، لذا فهو يحتاج إلى التقليب. اختيار المتأهلين للتصفيات النهائية في 3 للتقدم إلى الجولة الفاصلة، مع عدم وجود ترتيب بينهم، لا يهتم بالترتيب، لذا فهو يحتاج إلى مجموعة.
حساب عدد التقليب
تستخدم التباديل P(n, r) = n! / (ن , ص)!. بالنسبة لـ n = 6، r = 3، أي 6! / 3! وهي (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1)، من التبسيط إلى 6 × 5 × 4، يساوي 120.
تقوم حاسبة التقليب والدمج بطباعة هذا الإلغاء مباشرةً، لذا لا يلزم حساب نسبة الضرب بالكامل.
حساب عدد المجموعة
تستخدم المجموعات C(n, r) = n! / (ص! × (ن , ص)!). لنفس n = 6، r = 3، أي 6! / (3! × 3!) وهو 720 / (6 × 6)، يساوي 20.
المجموعات تقسم عدد التقليب على r! لأنه يمكن ترتيب كل مجموعة من عناصر r في r! تتعامل الطلبات والمجموعات المختلفة مع كل تلك الطلبات على أنها نفس النتيجة.
انظر العلاقة بين الصيغتين
P(n, r) تساوي دائمًا C(n, r) مضروبة في r!، نظرًا لأن مجموعة العناصر يتم تجميعها ويتم ترتيبها أيضًا بواسطة التقليب. بالنسبة إلى n = 6، r = 3: C(6، 3) × 3! = 20 × 6 = 120، مطابقة P(6، 3) تمامًا.
تسمح هذه العلاقة لآلة حاسبة التقليب والجمع باشتقاق أي من القيمتين بمجرد معرفة القيمة الأخرى، دون إجراء عمليتين حسابيتين منفصلتين.
تجنب هذا الخطأ الشائع
يعد اختيار صيغة خاطئة لمشكلة كلامية هو الخطأ الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع. سحب اليانصيب لأرقام 6 من 49، حيث يتم الإبلاغ عن الأرقام كمجموعة بدون ترتيب، هو مزيج، C(49، 6).
يعد تخصيص جوائز 3 المميزة (الأولى والثانية والثالثة) لـ 3 من المشاركين في 10 بمثابة تبديل، P(10، 3)، لأن أي مشارك يحصل على الجائزة المحددة هو المهم. اقرأ مشكلة اللغة مثل "بالترتيب" أو "المرتبة" أو "المخصصة لدور" كإشارات للتبديل، واللغة مثل "مجموعة من" أو "مجموعة فرعية" أو "محددة معًا" كإشارات لمجموعة.
حساب كلا القيمتين جنبا إلى جنب
يؤدي إدخال n = 8، r = 2 في حاسبة التقليب والدمج إلى إرجاع كلا النتيجتين من قاعدة العوامل المشتركة 8!. التقليب P(8، 2) = 8 × 7 = 56 يحسب الأزواج المرتبة، مثل تعيين قائد ونائب قائد من لاعبي 8.
المجموعة C(8, 2) = 56 / 2! = 28 يحسب الأزواج غير المرتبة، مثل اختيار لاعبين 2 لتمثيل الفريق دون تمييز بينهم. التقليب هو بالضبط 2! = 2 ضرب المجموعة هنا، مطابقة العلاقة العامة لأي n وr.
بناء الحدس مع قائمة مرجعية متقلصة
إحدى الطرق الموثوقة للاختيار بين الصيغتين هي تصوير تسميات معينة واحدة تلو الأخرى. إذا حصل كل عنصر محدد على تسمية أو علامة أو رتبة مميزة عند اختياره، فإن العدد يحتاج إلى تبديل. إذا تم تجميع العناصر المحددة ببساطة في مجموعة غير مسماة دون تمييز بينها، فإن العدد يحتاج إلى مجموعة.
العمل من خلال بعض الأمثلة الصغيرة يدويًا، مثل اختيار 2 الحروف من {A, B, C} كزوج مرتب وكزوج غير مرتب، يبني الحدس بشكل أسرع من حفظ الصيغ وحدها.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التقليب والجمع؟
يقوم التقليب بحساب الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًا، في حين أن المجموعة تحسب التحديدات حيث لا يكون الترتيب مهمًا. التباديل هي دائما ص! مرات أكبر من مجموعات لنفس n و r.
كيف يمكنك معرفة ما إذا كنت تريد استخدام التقليب أو مجموعة؟
لمعرفة ما إذا كان يجب استخدام التقليب أو التركيبة، اسأل ما إذا كان تبديل ترتيب العناصر المختارة يؤدي إلى نتيجة مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم، استخدم التقليب؛ إذا تم التعامل مع العناصر كمجموعة غير مرتبة، استخدم مجموعة.
ما هي الصيغة التي تربط التباديل والتركيبات؟
الصيغة التي تربطهم هي P(n, r) = C(n, r) × r!، نظرًا لأن التقليب يمثل أيضًا كل ترتيب للعناصر المحددة r التي تعاملها المجموعة على أنها متطابقة.
كم عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار الفائزين 3 من بين المشاركين في 10 إذا كان الطلب لا يهم؟
إذا لم يكن الترتيب مهمًا، فإن الفائزين 3 الذين تم اختيارهم من المشاركين في 10 يمنحون C(10، 3)، وهو ما يساوي 120، منذ 10! / (3! × 7!) يُبسط إلى (10 × 9 × 8) / 6.
ما هي الطرق التي يمكن بها منح جوائز 3 المميزة للمشاركين في 10؟
يتم منح جوائز 3 المميزة للمشاركين في 10 باستخدام P(10، 3)، والذي يساوي 720، نظرًا لأن تعيين المركز الأول والثاني والثالث هو اختيار مرتب: 10 × 9 × 8.
هل يمكن للتباديل والتوليفات استخدام نفس n و r؟
يمكن أن تستخدم التباديل والتركيبات نفس قيم n وr، وتحسب حاسبة التقليب والتركيبة كليهما من زوج واحد من المدخلات، مما يسمح بإجراء مقارنة بين النتيجتين على شاشة واحدة.
ما هو P(8، 2) وC(8، 2)؟
P (8، 2) يساوي 56، محسوبة كـ 8 × 7، بينما C(8، 2) يساوي 28، تم العثور عليها بقسمة عدد التقليب على 2!. التقليب هو بالضبط ضعف المجموعة، حيث يمكن ترتيب كل زوج غير مرتب في 2 أوامر مختلفة.
هل هناك طريقة سريعة للاختيار بين التقليب والجمع؟
هناك طريقة سريعة لاتخاذ القرار وهي تصور تعيين تسمية مميزة لكل عنصر مختار عند تحديده: إذا كانت هذه التسمية مهمة للنتيجة، فاستخدم التقليب؛ إذا تم تجميع العناصر فقط في مجموعة غير مسماة، فاستخدم مجموعة.
ملخص
حاسبة التقليب والجمع تحسب P(n, r) = n! / (ن - ص)! للتحديدات المطلوبة و C(n, r) = n! / (ص! × (ن , ص)!) للأشياء غير المرتبة، من نفس n و r.
ترتبط الصيغتان من خلال P(n, r) = C(n, r) × r!. اقرأ المسألة اللفظية بعناية لمعرفة ما إذا كان الترتيب مهمًا قبل اختيار العدد الذي يجيب على السؤال.